Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [ a; b ], то она принимает на нем наибольшее и наименьшее значение. При этом наибольшее или наименьшее значение функции может достигаться как внутри отрезка [ a; b ], а именно, в критических точках, так и на концах отрезка.

Схема отыскания наибольшего и наименьшего

значения функции у = f (х) на отрезке

1) Найти производную функции f ¢(х).

2) Найти критические точки функции.

3) Найти значение функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Замечание. Если функция у = f (х) непрерывна на интервале (a; b), то она может не принимать на нем наибольшего и наименьшего значения. Но если функция на интервале (a; b) имеет один экстремум, то в этой точке она имеет наибольшее значение в случае максимума и наименьшее — в случае минимума.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [–1; 4].

Решение. Данная функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой. Найдем производную функции:

.

Найдем критические точки:

,

х ₁ = – 4, х ₂ = 1.

Точка х ₁ = – 4 не принадлежит отрезку [–1; 4]. Найдем значение функции в точке х ₂ = 1 и на концах отрезка [–1; 4]: у (1) = 0, у (–1) = 0,8 и у (4) = 0,45. Среди найденных значений выберем наибольшее и наименьшее: наибольшее значение функции равно f (–1) = 0,8, а наименьшее f (1) = 0.

Ответ: f _наиб. = 0,8; f _наим. = 0.

Пример. Требуется построить открытый бассейн с квадратным дном. Известно, что стоимость облицовки 1 м² дна равна 4 денежных единицы, а стоимость облицовки 1 м² боковой поверхности — 3 денежных единицы. Каковы должны быть размеры бассейна, чтобы стоимость облицовки была минимальной, если объем этого бассейна 144 м³?

Решение. Пусть x метров — длина стороны дна бассейна. Тогда площадь дна бассейна равна x ² м², глубина — м, а площадь всей боковой поверхности — . Стоимость облицовки дна составит 4 x ² ден. ед., боковой поверхности — ден. ед., а вся стоимость — ден. ед. Так как стоимость должна быть минимальной, то надо найти минимальное значение функции , где x > 0.

,

Найдем критические точки:

,

.

Учитывая, что x > 0, получаем единственную критическую точку x = 6.

Так как на промежутке (0; +¥) функция имеет единственный экстремум x =6 — точку минимума, то в этой точке функция принимает наименьшее значение f (6) = 432.

Ответ: размеры бассейна 6 ´ 6 ´ 4, стоимость облицовки 432 ден. ед.