Исследование функции на монотонность и экстремумы

Условие постоянства функции. Функция у = f (х) постоянна на некотором промежутке тогда и только тогда, когда ее производная тождественно равна нулю на этом промежутке f ¢(х) = 0.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции. Если производная функции у = f (х) положительна f ¢(х) > 0 (отрицательна f ¢(х) < 0) в интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Необходимоеусловиевозрастания (убывания) функции. Если функция дифференцируема в интервале (a; b) и возрастает (убывает) на нем, то ее производная в этом интервале неотрицательна f ¢(х) ³ 0 (неположительная f ¢(х) £ 0).

Необходимоеусловиеэкстремума. Если в точке х ₀ функция у = f (х) достигает экстремума, то ее производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых выполняется необходимое условие, называются критическими. Согласно необходимому условию, если функция достигает экстремума в какой-либо точке, то это может случиться только в критической точке. Однако обратное утверждение неверно: критическая точка не обязательно является точкой экстремума.

Достаточноеусловиеэкстремума. Если при переходе через критическую точку х ₀ производная функции у = f (х) меняет знак с плюса на минус, то функция у = f (х) в точке х ₀ имеет максимум, а если с минуса на плюс — то минимум. Если производная знак не меняет, то экстремума в этой точке нет.

Схема исследования функции у = f (х)

на монотонность и экстремум

1) Найти производную функции f ¢(х).

2) Найти критические точки функции, т. е. точки, в которых производная равна нулю или не существует.

3) Определить знак производной на каждом из промежутков, на которые разбивается область определения функции найденными точками. Если f ¢(х) > 0 на рассматриваемом интервале, то функция возрастает; если f ¢(х) < 0, то убывает.

4) Сравнить знаки производной слева и справа от каждой критической точки и, используя достаточное условие экстремума, сделать вывод о наличии экстремумов функции.

Пример. Исследовать функцию   на монотонность и экстремумы.

Решение. Заданная функция определена и имеет производную во всех точках числовой прямой, кроме х = 3. Найдем производную данной функции:

.

y ' = 0 при х ₁ = 0, х ₂ = 6; производная не существует при х = 3. Найденные критические точки отметим на числовой прямой. На промежутках
(–∞; 0), (6; +¥) производная y ' > 0, а на интервалах (0; 3), (3; 6) производная y ' < 0.

Таким образом, на луче (–∞; 0] функция возрастает, на промежутке [0; 3) — убывает, на промежутке (3; 6] — убывает и на луче [6; +∞) — возрастает.

Точка х ₁ = 0 является точкой максимума, а х ₂ = 6 — точкой минимума.

Ответ: функция возрастает на луче (–∞; 0] и на луче [6; +∞); функция убывает на промежутке [0; 3) и на промежутке (3; 6]; х = 0 — точка максимума, х = 6 — точка минимума.