Задачи для самостоятельного решения

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 3

1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ.. 5

1.1. Общие правила комбинаторики. 5

1.1.1. Правило суммы и формула включений и исключений. 5

1.1.2. Правило произведения. 7

1.2. Основные формулы комбинаторики. 9

1.2.1. Размещения. 9

1.2.2. Перестановки. 11

1.2.3. Сочетания. 13

2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.. 15

2.1. Множество исходов эксперимента. 16

2.2. События и действия над ними. 17

2.3. Классическое определение вероятности. 18

2.4. Статистическая вероятность. 19

2.5. Сложение вероятностей. Задачи на сложение вероятностей. 20

2.6. Условная вероятность. Независимость событий. 22

3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.. 25

3.1. Понятие случайной величины.. 25

3.2. Функция распределения и числовые характеристики случайной величины 26

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.. 29

 

ВВЕДЕНИЕ

Мир – это бесконечное многообразие явлений. Непосредственное общение с миром приводит к мысли, что в первом приближении все явления разделяются на два вида: необходимые и случайные. Необходимые явления кажутся нам явлениями неизбежно происходящими, а случайные – явлениями, могущими как произойти, так и не произойти в одно и то же время. Существование и изучение необходимых явлений представляется естественным, закономерным. А случайные явления в обыденном представлении кажутся нам крайне редкими, не имеющими закономерностей; они как бы нарушают естественный ход событий. Однако случайные явления происходят всюду и постоянно. В результате взаимодействия многих случайностей появляется ряд явлений, в закономерности которых мы не сомневаемся. Случайность и закономерность неотделимы друг от друга.

Задача любой науки состоит в выявлении и исследовании закономерностей, которым подчиняются реальные процессы.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях науки и техники: теории надежности, теории массового обслуживания, теоретической физике, геодезии, астрономии, теории ошибок, теории управления и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей опирается на комбинаторику и служит для обоснования математической статистики.

Комбинаторика (комбинаторный анализ) – раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами.

Математическая статистика – раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей. Методы математической статистики используются при планировании организации производства, анализе технологических процессов, для контроля качества продукции и многих других целей.

Задачи, которые ставит перед нами жизнь, в большинстве своем связаны с анализом влияния случайных факторов и требуют принятия решения в ситуациях, имеющих вероятностную основу. Поэтому неотъемлемым условием творческой работы во многих областях человеческой деятельности стало наличие системы вероятностно-статистических знаний и представлений. В ходе изучения курса, вы научитесь вычислять вероятность случайных явлений в реальных жизненных ситуациях, что позволит вам оценивать свои шансы на успех, проверять гипотезы, принимать верные решения.

 

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

В повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не уступить ни одной из них. Для этого нужно осуществлять перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число.

Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называется комбинаторикой.

Комбинаторика как наука стала развиваться в XVI – XII вв. параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов.

Общие правила комбинаторики

Правило суммы и формула включений и исключений

Часто удается разбить все изучаемые комбинации на несколько классов, причем каждая комбинация входит в один и только один класс. В этом случае общее число комбинаций равно сумме чисел комбинаций во всех классах. Это утверждение и называют правилом суммы. Иногда это правило формулируют несколько иначе: если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить m + n способами.

Пример. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?

Решение. По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу суммы, можно осуществить 5+4=9 способами.

При использовании правила суммы в последней формулировке надо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта А не совпадал с каким-либо способом выбора объекта В (или, как мы говорили раньше, чтобы ни одна комбинация не попала сразу в два класса). Если такие совпадения есть, правило суммы утрачивает силу, и мы получаем лишь m + n - k способов
выбора, где k – число совпадений. Правило комбинаторики для этого случая называется формулой включений и исключений.

Пример. Из 36 учеников английский язык изучают 27 человек, немецкий – 22 человека. Сколько учеников изучают оба языка?

Решение. По формуле включений и исключений имеем:
36 = 27 + 22 – k, где k – количество учеников, изучающих оба языка. Отсюда находим, что k = 27 + 22 – 36 = 13.

Задачи для самостоятельного решения

1. На одной полке книжного магазина стоит 20 различных книг, а на другой – 40 различных книг (не таких, как на первой полке). Сколькими способами можно выбрать одну книгу?

2. Сколькими способами можно выбрать один цветок из корзины, в которой имеется 12 гвоздик, 15 роз и 7 хризантем?

3. В меню школьной столовой имеется 3 первых блюда, 2 вторых и 3 третьих. Сколькими способами можно выбрать только одно блюдо?

4. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 47 человек, с сыром – 38 человек, с ветчиной – 42 человека. Бутерброды с сыром и колбасой были у 28 человек, с колбасой и ветчиной – у 31 человека, с сыром и ветчиной – у 26 человек. Все три вида бутербродов взяли 25 человек, а несколько человек вместо бутербродов захватили с собой пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?

Правило произведения

Второе правило, называемое правилом произведения, несколько сложнее. Часто при составлении комбинации из двух элементов известно, сколькими способами можно выбрать первый элемент, и сколькими способами второй, причем число способов выбора второго элемента не зависит от того, как именно выбран первый элемент. Пусть первый элемент можно выбрать m способами, а второй n способами. Тогда пару этих элементов можно выбрать m  n способами. Иными словами: если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А,В) в указанном порядке можно осуществить m  n способами.

Правило произведения можно наглядно представить с помощью следующей таблицы:

(А1,В11)	(А1,В12)	…	(А1,В1 n )
(А2,В21)	(А2,В22)	…	(А2,В2 n )
…	…	…	…
(А i,В i 1)	(Аi,В i 2)	…	(А i,В in)
…	…	…	…
(А m,В m 1)	(А m,В m 2)	…	(А m,В mn)

Здесь через А₁, А₂, …, А _m обозначены m способов выбора объекта А, а через В_i1, B _{i 2}, …, B _in обозначены n способов выбора объекта В, если объект А выбран   i -тым способом. В каждой строке таблицы содержится n пар, всего m строк. Следовательно данная таблица содержит все способы выбора пары (А, В) и состоит из m  n элементов.

Правило произведения, сформулированное для двух объектов, можно обобщить и на случай k объектов.

Пример. В столовой предлагают два различных первых блюда, три различных вторых блюда и два вида десерта. Сколько различных обедов из трех блюд может предложить столовая?

Решение. В обед обязательно входят первое блюдо, второе блюдо и десерт. Выбор не зависит друг от друга. Применяем правило произведения:
2  3  2 = 12.