Координаты точек на сфероиде, главные радиусы кривизны

Земная ось. Земной осью называют воображаемую линию, вокруг которой происходит суточное вращение Земли. Земная ось протыкает сфероид в двух точках, называемых географическими полюсами.

Северный полюс - это точка, откуда вращение Земли усматривается против часовой стрелки и обозначается Р_N.

Южный полюс -  это антипод северного полюса и обозначается Р_S. Такие географические полюса называют еще истинными.

При пересечении сфероида плоскостями, перпендикулярными оси вращения, на его поверхности образуются малые круги, называемые параллелями. Если такая плоскость проходит через цент Земли, то ее след на поверхности сфероида образует большой круг, называемый экватором.

Следы от пересечения земного сфероида плоскостями, проходящими через ось вращения Земли, называют географическим меридианами или истинными меридианами.

Меридиан, проходящий через точку наблюдения, называется истинным меридианом наблюдателя.

Географической широтой (j) некоторой точки М на поверхности земного сфероида называется угол между плоскостью экватора и нормалью к поверхности сфероида в этой точке. Применение нормали или отвесной линии для определения широты дает представление не только о геометрических, но и физических принципах. Широта также, измеряется дугой меридиана от экватора до параллели точки. На параллели широта j будет постоянной

Если задано сечение сфероида по меридиану, то положение точек на этом сечении можно определить плоскими прямоугольными координатами x и y, по формулам:

; примем , тогда

(31)

; , где

j – географическая широта

а – большая полуось, для эллипсоида Красовского а =6378245м

r – радиус параллели заданной широты j;

e² – квадрат первого эксцентриситета,  для эллипсоида Красовского e²=0,0066934.

Проведём через произвольную точку эллипсоида две взаимно перпендикулярные плоскости – одну совпадающую с плоскостью меридиана и другую с плоскостью первого вертикала. В результате пересечения этих плоскостей с поверхностью эллипсоида, получим два главных нормальных сечения в виде эллипсов. Первое называется меридианным, второе – сечением первого вертикала или нормальным сечением. Радиусы кривизны этих сечений называют главными радиусами кривизны. Радиус кривизны меридионального сечения обозначим N, нормального сечения – M.

(32)

;

(33)

;

;

(34)

M=N при j=90°

Средний радиус кривизны

Зная М, можно вычислить длину одной минуты дуги меридиана, которая используется для измерения расстояний и называется морской милей.

DS=MDj

Если Dj=arc1’=1/3438

Величина М зависит от j и параметров a и е для эллипсоида Красовского с учетом формулы М, получим:

j	0°	45°	90°
DS,м	1843	1852	1862

Стандартная морская миля равна 1852 м.

Длина дуги параллели, соответствующая определенной Dl, называется отшествие. Рассчитывается с учетом её радиуса r=x и Dl

(35)

 

(36)

При решении некоторых задач навигации встречается необходимость знать схождение меридианов на сфере, которое может быть рассчитано по формуле:

, где

g - сферическое схождение меридианов;

j_ср – средняя широта;