Криволінійна кореляція

 

Між параметрами моделі можливі також випадки криволінійної кореляції Для дослідження такої залежності потрібно досліджувану сукупність розділити на інтервали, які мають прямолінійний характер, і дослідити кожний участок окремо.

Дослідимо криволінійну кореляцію між ознаками Х та У. Дослідимо окремо участки  та

 

 

Бачимо, що при урожайності льоноволокна меншою за 8 ц/га, залежність між урожайністю льоноволокна та якістю льонотрести є помірною, а при урожайності льоноволокна більше за 8 ц/га, залежність між урожайністю льоноволокна та якістю льонотрести є тісною.

Дослідимо криволінійну кореляцію між ознаками Х та . Дослідимо окремо участки  та :

 

 

Бачимо, що при урожайності льоноволокна меншою за 8 ц/га, залежність між урожайністю льоноволокна та витратами праці на 1 центнер льонотрести є помірною, а при урожайності льоноволокна більше за 8 ц/га, залежність між урожайністю льоноволокна та витратами праці на 1 центнер льонотрести є слабкою.

Дослідимо криволінійну кореляцію між ознаками У та . Дослідимо окремо участки  та :

 

 

Бачимо, що при  залежність між якістю льонотрести та витратами праці на 1 центнер льонотрести є прямою помірною, а при  залежність між якістю льонотрести та витратами праці на 1 центнер льонотрести є зворотньою функціональною.

 

Множинна кореляція

 

Двомірні кореляційні моделі (парна кореляція) використовуються у випадках, коли серед чинників, що впливають на результативну ознаку, є домінуючий. Такі зв'язків небагато, частіше зустрічаються залежності результативної ознаки від декількох факторних, оскільки економічні явища знаходяться під впливом значного числа одночасно і чинників, що сукупно діють.

Завдання множинного кореляційно-регресійного аналізу в загальному вигляді формулюється таким чином: Хай деяка статистична сукупність, що складається з n одиниць спостереження володіє певним набором ознак, один з яких грає роль результативного, а останні - факторних. На основі спостережуваних значень всіх ознак потрібно виявити і описати зв'язок між ними у вигляді множинної кореляційної моделі вигляду: .

Рішення даної задачі вимагає послідовного виконання наступних етапів дослідження множинного кореляційного зв'язку:

• попередній відбір чинників, що включаються в модель;

• попередній опис зв'язку;

• уточнення моделі на основі аналізу кореляційної матриці;

• визначення тісноти зв'язку;

• оцінка надійності множинної кореляційної моделі;

• інтерпретація моделі.

Вивчення множинної регресії (кореляції) вимагає вимірювання не тільки прямої дії кожного чинника на результат, але і обліку впливу чинників один на одного, тобто обліку наявності міжфакторних зв'язків. Загальне число зв'язків завжди значно більше числа чинників, що включаються в модель. Воно визначається виразом:

 

 

де – кількість факторних ознак, включених в модель.

У загальному випадку, при великому числі чинників, що враховуються, необхідно будувати складні моделі, що вимагають проведення складних розрахунків; моделі виходять громіздкими. З іншого боку, - чим велика кількість чинників враховується, тим адекватніше побудована модель. Для вирішення вказаного протиріччя заздалегідь обмежується число чинників, що враховуються. Доцільність їх включення в модель визначається наступними міркуваннями:

· вони повинні бути соїзмеріми, мати кількісний вираз;

· чинники не повинні бути інтеркорреліровани, тобто тісно зв'язаними між собою;

· вони повинні пояснювати варіацію результативної ознаки.

При включенні в модель інтеркоррелірованних чинників неможливо визначити ізольований вплив таких чинників на результативний показник, а оцінки параметрів рівняння множинної регресії будуть ненадійними, залежними від спостережень.

Попередній опис множинного кореляційного зв'язку (МКЗ) здійснюється через побудову відповідного рівняння регресії. Практика показує, що можна використовувати наступні п'ять функцій, оскільки вони описують всі реально існуючі залежності між соціально-економічними явищами:

1. лінійна;

2. статечна;

3. показова (експотенциональная);

4. параболічна;

5. гіперболічна.

Працювати з нелінійними функціями складно, тому основне значення мають лінійні моделі через їх простоту і логічність економічної інтерпретації. Нелінійні форми завжди можна привести до лінійної, використовуючи відомий в математиці прийом лінеаризації функцій. Величина кожного параметра в рівнянні прямої може бути визначена по методу найменших квадратів.

При виборі форми рівняння множинної регресії необхідно мати на увазі:

1. Чим складніше функція, тим гірше інтерпретуються параметри моделі.

2. Складні функції (поліноми) з великою кількістю чинників вимагають великого числа спостережень (на кожен параметр не менше 6 спостережень)

Остаточний відбір чинників, тобто уточнення кореляційної моделі проводиться на основі аналізу кореляційної матриці. Кореляційна матриця складається з парних лінійних коефіцієнтів кореляції юшок r, що відображають тісноту зв'язку результативної і факторної ознаки і коефіцієнтів інтеркорреляції, що відображають тісноту зв'язку між i-м і j-м факторними ознаками.

Оцінка тісноти множинного кореляційного зв'язку проводиться на основі двох показників: множинного коефіцієнта детерміації і множинного коефіцієнта кореляції.

Для двохфакторної моделі множинний коефіцієнт кореляції визначається по формулі:

 

 

Діапазон зміни множинного коефіцієнта кореляції від 0 до 1. «0» означає відсутність зв'язку, «1» - наявність функціонального множинного зв'язку між ознаками. Для класифікації тісноти зв'язку використовується шкала Чеддока.

Для оцінки надійності виявленого зв'язку порівнюється множинний коефіцієнт кореляції з лінійними кореляційними коефіцієнтами кореляції між результатом і факторними ознаками, включеними в модель. Зв'язок визнається надійним, якщо

 

 

Завершуючим етапом множинної кореляції є інтерпретація параметрів побудованої кореляційної моделі. Чим більше величина цих параметрів (коефіцієнтів регресії), тим значніше вплив даних чинників на результат. Важливе значення мають знак перед коефіцієнтами регресії. Знак “+” свідчить про зростання результату при збільшенні факторної ознаки, знак “-” - про зменшення результату при зростанні факторного.

Опишемо зв'язок між урожайністю льоноволокну (факторна змінна Х1), витратами праці на 1 центнер льонотрести (факторна змінна Х2) та якістю льнотрести (результуюча змінна У). Для побудови моделі лінійної регресії скористаємось матричною формулою

 

 

	0,29041
	0,065151
	-0,00789

 

Таким чином, економетрична модель має вигляд:

 

 

Y	X1	X2	Y^	U
0,5	4,3	2,33	0,551326	-0,05133
0,5	5,7	4,74	0,623528	-0,12353
0,5	6,6	3,33	0,693026	-0,19303
0,54	9,8	2,66	0,906252	-0,36625
0,56	3,7	4,51	0,495322	0,064678
0,56	5,9	6,67	0,621474	-0,06147
0,58	5,6	3,59	0,625998	-0,046
0,6	3,7	1,43	0,519346	0,080654
0,6	7,6	5,4	0,74188	-0,14188
0,63	5,1	7,85	0,56027	0,06973
0,64	3,7	3,94	0,499768	0,140232
0,65	5,2	5,52	0,584944	0,065056
0,65	8,7	3,28	0,829916	-0,17992
0,7	7,2	5,75	0,71315	-0,01315
0,72	6	6,63	0,628286	0,091714
0,72	10,9	6,68	0,946396	-0,2264
0,77	11,8	3,24	1,031728	-0,26173
0,78	6,3	2,32	0,681404	0,098596
0,85	7,8	6,9	0,74318	0,10682
0,88	7,5	7,25	0,72095	0,15905
0,88	12,1	10,38	0,995536	-0,11554
0,97	9,8	4,05	0,89541	0,07459
1,23	10,7	3,97	0,954534	0,275466
1,37	13,1	3,81	1,111782	0,258218
1,46	13,4	3,23	1,135806	0,324194

 

1) розрахуємо коефіцієнт детермінації: . Цей показник показує, що вариація залежної змінної залежить від варіації пояснюючих змінних на 55,8%

2) розрахуємо коефіцієнт множинної кореляції:

 

 

Бачимо, що зв'язок між пояснюючими та залежною змінними є тісним.

3) Статистична значущість звязку, отриманого на основі економетричної моделі, оцінимо за критерієм Фішера.

 

 

 

Розрахуємо критичне значення критерію Фішера при рівні значущості 0,05 та ступені свободи 2 та 25:

 

 

Оскільки фактичне значення критерія Фішера є більшим за критичне, то економетрична модель є достовірною.

4) Розрахуємо критерій Стьюдента для оцінки статистичної значущості кожної оцінки параметрів економетричної моделі:

 

0,29041	0,126067349	2,303611713
0,065151	0,01241801	5,246492528
-0,00789	0,017864271	-0,441540986

 

Критичне значення критерію Стьюдента при рівні значущості 0,05 та ступеню свободи  дорівнює .

Таким чином, параметри  є статистично достовірними, а параметр  - статистично недостовірним.