Класичне означення ймовірності

Ймовірність – числова характеристика появи випадкової події за певної умови, яка може бути відтворена необмежену кількість разів.

Означення: Ймовірністю випадкової події називають відношення кількості наслідків випробувань, які сприяють появі цієї події, до загальної кількості всіх рівно можливих несумісних наслідків, які утворюють повну групу подій.

Позначають , де n – загальна кількість всіх рівно можливих результатів експерименту; m – кількість результатів експерименту, сприятливих для події А.

Розглянуте означення ймовірності називають класичним. Із нього випливають такі властивості:

1) Ймовірність кожної події А є невідיємним числом, що не перевищує одиниці. Справді, число m випробувань, сприятливих для події А, справджує нерівності , звідки , тобто .

2) Ймовірність неможливої події Ø дорівнює нулю: Р(Ø)=0. дійсно, за формулою .

3) Р(Ω)=1, (нормування).

4) , (повна адитивність для повної групи подій).

5) .

33. Дискретні випадкові величини.Функції розподілу і її властивості.

Нехай Ω – простір елементарних подій деякого стохастичного експерименту. Будь-яку функцію , , всі значення якої є дійсними числами, називають випадковою величиною.

   Означення: Величина називається випадковою, якщо внаслідок проведення експерименту під впливом випадкових факторів вона набуває того чи іншого можливого значення з певною ймовірністю.

   Можна сказати і так: випадковою величиною х називається функція , визначена в просторі елементарних подій Ω і така, що для  визначена ймовірність події .

   Означення: Дискретною називається випадкова величина х, яка приймає окремі ізольовані можливі значення з визначеними ймовірностями, тобто величина для якої існує скінченна або злічена множина значень  таких, що .

   Інше означення:

   Означення: Випадкова величина називається дискретною, якщо її значення можна записати у вигляді послідовності (скінченної або нескінченної).

   Випадкову величину позначають великими латинськими літерами, а їх значення малими літерами.

   Якщо випадкова величина Х набуває значень  з відповідними ймовірностями , то говорять, що задано закон розподілу ймовірностей випадкової величини.

   Закон розподілу випадкової величини зручно записувати у вигляді таблиці:

В даній таблиці , . Враховуючи те, що в одному випробування випадкова величина приймає одне і тільки одне можливе значення, робимо висновок, що події  утворюють повну групу несумісних подій і відповідно сума ймовірностей цих подій рівна одиниці: , (1).

Формула (1) - це умова нормування для дискретної випадкової величини.

Закон розподілу ймовірностей можна унаочнити графічно. Для цього на осі  відкладають , на  – . Точки з координатами  послідовно сполучають. Утворену фігуру називають імовірнісним многокутником.

Закон розподілу можна подати як функцію розподілу ймовірностей випадкової величини F(х) або так звану інтегральну функцію.

Означення: Функцію аргументу х, що визначає ймовірність в події Х < х, називається функцією розподілу ймовірностей: .

Властивості функції розподілу:

1) Для : .

   2) Функція F(x) є не спадною: якщо , то .

3) Ймовірність того, що випадкова величина Х набуде можливого значення , дорівнює різниці між значеннями функції розподілу F(х) в правому і лівому кінцях проміжку: