1°. Элементы сходящейся последовательности имеют вид: , где , – бесконечно малая последовательность, .
2°. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
3°. Сходящаяся последовательность ограничена.
Обратное утверждение неверно, например, последовательность является ограниченной, но предела не имеет.
4°. Сумма, разность, произведение и также частное (при условии, что и ), двух сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, и ее предел равен соответственно сумме, разности, произведению и частному пределов исходных последовательностей.
Следствие. Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же операциям над их пределами.
5°. Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству (), то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству ().
Следствия.
1) Если элементы и сходящихся последовательностей и , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то их пределы удовлетворяют такому же неравенству: .
|
|
2) Если все элементы сходящейся последовательности находятся на отрезке , то и ее предел также находится на этом отрезке.
6°. Пусть и – сходящиеся последовательности и . Пусть, начиная с некоторого номера, элементы последовательности удовлетворяют неравенствам . Тогда последовательность сходится, и .
7°. Последовательность , извлеченная из элементов данной последовательности с сохранением порядка, называется ее подпоследовательностью.
Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.