2020-04-07
123
Определение 4. Конечное число 
называется пределом числовой последовательности 
, если для любого сколь угодно малого положительного числа 
найдется такое натуральное число 
(вообще говоря, зависящее от ), что при всех 
выполняется неравенство 
.
Обозначение: 
.
Определение 5. Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся.
ПРИМЕРЫ.
1). Доказать по определению, что 
.
Доказательство.
.
В качестве выберем 
где 
- символ целой части числа, тогда неравенство 
будет выполнено 
, ч.т.д.
2). Последовательность 
не имеет предела, так как нельзя указать номер, после которого все члены последовательности окажутся в сколь угодно малой окрестности какого-либо числа.
Определение 6. Последовательности, не имеющие предела, называются расходящимися.
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
Определение 7. Последовательность называется бесконечно большой, если 
.
Бесконечно большая последовательность является неограниченной последовательностью. Обратное утверждение неверно. Например, неограниченная последовательность 0, 4, 0, 8, 0, 12,…не является бесконечно большой, т.к. не все члены последовательности после некоторого n становятся больше произвольного M.
Определение 8. Последовательность называется бесконечно малой, если 
.
Например, последовательность 
− бесконечно малая.
