Числовые последовательности

Векторная алгебра и анализ

2.3. Введение в математический анализ

Авторы: Кеда О.А., Л.П. Мохрачева, А.Ф. Рыбалко, Н.М.Рыбалко, Л.Ю. Трояновская.

Лекция 12. Числовая последовательность, ее предел.

Содержание:

1. Числовые последовательности. ♦

2. Предел числовой последовательности. ♦

3. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. ♦

4. Свойства бесконечно малых последовательностей ♦

5. Свойства сходящихся последовательностей. ♦

6. Монотонные последовательности. ♦

7. Признак сходимости монотонной последовательности. ♦

8.  Число е как предел монотонной последовательности. ♦

Числовые последовательности.

Определение 1. Если каждому натуральному числу  по определенному закону поставлено в соответствие некоторое число ,то множество  нумерованных чисел  называется числовой последовательностью.

Элементы этого множества  называются членами последовательности, а  − общим членом последовательности.

Так как последовательности являются числовыми множествами, то они могут быть ограниченными сверху, снизу и просто ограниченными.

Можно дать и другое определение последовательности.

Определение 2. Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента.

.

Кроме свойства четности, последовательность обладает всеми характеристиками функции: ограниченностью, периодичностью, монотонностью.

Определение 3. Последовательность называется неограниченной сверху (снизу), если для любого сколь угодно большого М (малого m) найдётся такой номер n, что . 

С помощью логической символики эти определения можно записать так: 1) 2) .

ПРИМЕРЫ.

1). Последовательность  неограниченная снизу и ограниченная сверху, поскольку все члены этой последовательности удовлетворяют неравенству .

2). Последовательность   неограниченная сверху и ограниченная снизу, т.к.  .

3). Последовательность  ограничена. Для любого , т.е. .

4). Последовательность  неограниченная ни сверху, ни снизу.