Вопрос 1. Прямоугольный базис в пространстве

План

1. Прямоугольный базис в пространстве.
2. Координаты точки и вектора в пространстве.

3. Разложение вектора по трём некомпланарным направлениям

1. Действия с векторами в координатной форме

Вопрос 1. Прямоугольный базис в пространстве.

Для построения прямоугольного базиса в пространстве нужно:

- провести три взаимно перпендикулярных прямые х, у, z, пересекающихся в одной точке О;

- провести через каждую пару этих прямых плоскость.

Плоскость, проходящая через прямые х и у, называют плоскостью ху, две другие плоскости соответственно хz и уz.

 

Прямые х, у, z называются координатными осями, х – ось абсцисс, у – ось ординат, z – ось аппликат. Точка пересечения О – начало координат, плоскости ху, хz, уz – координатные плоскости. Точка О разбивает каждую из этих осей на две полуоси, одна из которых положительная, а другая отрицательная (рис. 1).

Пусть  – единичный вектор оси абсцисс,  - единичный вектор оси ординат,  - единичный вектор оси аппликат.

Тройка взаимно перпендикулярных, единичных векторов (i, j, k), отложенных от начала координат точки О и по направлению совпадающих с координатными осями, называют прямоугольным базисом в пространстве (рис. 2).

Рис. 2

Совокупность прямоугольного базиса и начала координат называют прямоугольной системой координат в пространстве.

Вопрос 2. Координаты точки и вектора в пространстве.

Любая точка М(x; y; z) в пространстве имеет 3 координаты: х- абсцисса, у- ордината, z- аппликата (рис. 3).

Любой вектор ={х; у; z} или { х₂ – х₁, у₂ – у₁, z₂ – z₁} в пространстве также имеет 3 координаты:

х- абсцисса, у- ордината, z- аппликата.

	Рис. 3

Радиус-вектором называют вектор, проведённый из начала координат в произвольную точку пространства.Радиус-вектор имеет координаты точки, в которую он проведён (рис. 4).

=  ={х; у; z}

Координаты вектора  выражаются через координаты его начала А(х ₁; у ₁; z ₁) и конца В(х ₂; у ₂; z ₂):

{ х₂ – х₁, у₂ – у₁, z₂ – z₁}.

Правило 1. Для определения координат вектора АВ нужно от координат конца вектора вычесть координаты начала.

Рис. 4

Координаты равных векторов равны.

Вопрос 3. Разложение вектора по трём некомпланарным направлениям:

а) разложение радиус-вектора по базису

Пусть  – единичный вектор оси абсцисс,  - единичный вектор оси ординат,  - единичный вектор оси аппликат. Радиус-вектор  =  можно разложить по единичным векторам:

 = x  + y  + z .

Коэффициенты х, у, z называются координатами вектора ={х; у; z}: х = ОМ_х, у = ОМ_у, z = ОМ_z.

б) разложение произвольного вектора АВ по базису

(х₂ – х₁)i+(у₂ – у₁)j+(z₂ – z₁)k.

Правило 2. Для разложения вектора по базису нужно каждую координату вектора умножить на соответствующий координатный (базисный) вектор.

Вопрос 4. Действия с векторами в координатной форме:

Правило 3. Суммой (разностью) векторов  (х₁; у₁; z₁) и  (х₂; у₂; z₂) называется вектор  = , координаты которого равны сумме (разности) соответствующих координат этих векторов:

 (х₁  х₂; у₁  у₂; z₁  z₂).

Правило 4. Произведением вектора  (х; у; z) на число k называется вектор

=k , координаты которого равны произведению числа k на координаты вектора :

 =(kх; kу; kz).

Правило 5. Построение точки в пространстве

Для построения точки в пространстве необходимо:

1) Построить прямоугольную систему координат в пространстве Охуz.

2) Отложить первые две координаты на соответствующих осях и провести их проекции;

3) Выполнить параллельный перенос третьей координаты в точку пересечения проекций;

Правило 6. Построение радиус-вектора в пространстве

Для построения радиус-вектора в пространстве необходимо:

1) Построить прямоугольную систему координат в пространстве Охуz.

2) Отложить первые две координаты конца вектора на соответствующих осях и провести их проекции;

Рис. 5

3) Выполнить параллельный перенос третьей координаты в точку пересечения проекций;

4) Соединить полученную точку с началом координат и обозначить искомый вектор (рис. 5).

 

  Правило 7. Построение вектора MN впространстве

Для построения вектора MN в пространстве необходимо:

1) Построить прямоугольную систему координат в пространстве Охуz.

2) По правилу (5) построить 2 точки - точку начала вектора M(-2;0;3) и точку конца N(2;1; -2).

3) Соединить полученные точки и обозначить искомый вектор (рис. 6).

 

 

Рис. 6