Свойства параллельного переноса

1. При параллельном переносе на ненулевой вектор (a,b) неподвижных (инвариантных) точек нет.

Действительно, если a,b одновременно не равны нулю, то из (1) получаем М ¹ М¢.

2. При параллельном переносе образом прямой будет параллельная ей прямая.

Действительно, пусть прямая а задана в О уравнением

Ах + Ву + С = 0, (3)

где А² + В² ¹ 0.

Тогда, согласно (2), ее образом f(a) будет множество точек с уравнением:

А(х ¢ -a) + В(у ¢ -b) + С = 0,

или

Ах ¢ + Ву ¢ - (Аa+Вb -С) = 0. (4)

Уравнение (4) задает прямую на плоскости, причем параллельную прямой, заданной уравнением (3).

Если рассмотреть вектор (a,b) параллельный прямой а, то получим: (А,В) ^ (a,b), где нормальный вектор прямой а и при этом Аa + Вb = 0.

Поэтому уравнение (4) примет вид

Ах¢ + Ву¢ + С = 0.

Следовательно, уравнения прямой а и ее образа f(а) совпадают, а значит прямая а инвариантна, т.е..

f(а) = а.

Следует помнить, что при ненулевом векторном переносе неподвижных точек нет, поэтому точки прямой а не являются неподвижными.

Исходя из формул (2) получим, что обратное преобразование плоскости к параллельному переносу на вектор (a,b) также является параллельным переносом на вектор (–a,–b).