Системи лінійних рівнянь

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, яку можна привести до стандартного вигляду

Відмітимо, що коефіцієнт а_ij при невідомих мають два індекси: перший індекс і вказує номер рівняння, а другий - j вказує номер невідомого, при якому знаходиться цей коефіцієнт.

Так, а₃₂ є коефіцієнт третього рівняння при другому невідомому. Числа в_1, в₂,..., в_n вільні від невідомих і утворюють праву частину системи рівнянь.

Система (1) зветься неоднорідною, якщо хоч би одне з чисел в_1, в₂,..., в_n не дорівнює нулю.

Система зветься однорідною, якщо в₁ = в₂=...= в_n = 0.

Коефіцієнти системи (1) утворюють основну матрицю системи

Визначник цієї матриці називають основним визначником системи (1) і позначають |А| або D(А) або просто D.

Для правильного запису основної матриці або основного визначника системи треба бути уважним і записати в і рядок коефіцієнти і -го рівняння, а в к стовпець коефіцієнти при х_к. Якщо в деякому рівнянні немає якогось невідомого, то це означає, що відповідний коефіцієнт дорівнює нулю.

Наприклад, основною матрицею системи

тому, що друге рівняння системи записано у нестандартному вигляді (невідомі х₁ та х₂ переставлені), а в третьому рівнянні відсутнє невідоме х₂.

Розв'язком системи (1) називають таку сукупність невідомих (х₁, х₂,..., х_n), яка при підстановці в рівняння системи перетворює кожне рівняння системи у тотожність.

Це означення дозволяє перевіряти правильність знайденого розв'язку системи.

Якщо А - основна матриця системи (І),

 матриця - стовпець правих частин рівнянь системи (1), то систему (1) можна записати у матричному вигляді