Тема 2. Аналітична геометрія

1 2 3 4 5

1. Вектори.

2. Аналітична геометрія на площині.

3. Аналітична геометрія в просторі.

2.1. Вектори

Означення. Вектором (n -вимірним вектором, геометричним вектором) називається впорядкований набір чисел .

Означення. Вектори називаються рівними, якщо співпадають їхні розмірності та всі компоненти.

Приклад. Вектори (1;2;3) та (1;3;2) рівними не є, незважаючи на те, що множина {1;2;3} дорівнює множині {1;3;2}.

Означення. Нульовим вектором називається вектор .

Означення. Добутком вектора на число k називається вектор .

Означення. Сумою векторів та називається вектор .

Означення. Скалярним добутком векторів та називається число .

Означення. Модулем (довжиною) вектора називається число .

Кут j між векторами та задається формулою . При n =2 ця формула співпадає зі шкільною формулою для кута між векторами на площині.

Вектори називаються ортогональними, якщо їхній скалярний добуток дорівнює нулю. Це виконується за умови cosj=0, тобто при j=90⁰.

Розглянемо прямокутну систему координат на площині та вектори і на цій площині (рис. 2.1). Ці вектори (вони ортогональні і їхня довжина дорівнює одиниці) називають ортами.

i x

Рис. 2.1.

Розглянемо також просторову систему координат з ортами , та (рис. 2.2).

i j y

Рис. 2.2.

Виконується така теорема: Кожен вектор в n -вимірному просторі єдиним способом розкладається по координатних осях.

Зокрема, в тривимірному просторі

а в двовимірному

Нехай та ‑ вектори, а k ‑ дійсне число. Виконуються такі властивості:

; ;

; .

Наведемо деякі формули, що стосуються векторів у тривимірному просторі.

Кути між вектором та координатними осями обчислюють за формулами

;

Кут між двома векторами та обчислюєть за формулою

Означення. Векторним добутком векторів та називається вектор

Векторний добуток задовольняє, зокрема, таку властивість:

, де j ‑ кут між векторами та .

Приклад. Обчислити площу трикутника ABC, де A (1;0;2), B (1;2;0), C (0;1;2).

Знаходимо вектори =(0;2;-2) та =(-1;1;0). Оскільки площа трикутника ABC дорівнює , то спочатку обчислюємо векторний добуток

Знаходимо модуль цього векторного добутку:

Отже, шукана площа .

2.2. Аналітична геометрія на площині

Пряма лінія на площині найчастіше задається у вигляді рівняння

y = k×x + b (2.3)

де k=tg a ‑ нахил цієї прямої до осі O X (рис 2.3,а).

Часткові випадки розташування прямої (y=kx, x=a, y=b) показані, відповідно, на рис.2.3б-г.

y y y y

x 135⁰ x x x

а б в г

Рис.2.3

Загальне рівняння прямої на площині має вигляд

Ax + By + C = 0 (2.2)

Якщо B ¹0, то рівняння (2.2) можна перетворити у (2.1).

Приклади. Побудувати графіки прямих y =1- x та 2 x - y +2=0. У першому прикладі k=tga= -1, отже a=135⁰ (рис. 2.4,а). В другому прикладі маємо y =2 x +2, отже, k=tga= 2 (рис. 2.4,б).

y y

2 x - y +2=0

y =1- x 2

a=135⁰

1 x -1 x

а б

Рис. 2.4

Наведемо ще деякі з рівнянь, які задають пряму на площині.

Пряма, яка проходить через дві задані точки (x ₁; y ₁) та (x ₂; y ₂):

, (2.3)

або, що те саме,

. (2.3¢)

Пряма, яка проходить через задану точку (x ₁; y ₁) паралельно до заданої прямої y=ax+b:

y-y ₁= a (x-x ₁) (2.4)

Пряма, яка проходить через задану точку (x₁;y₁) перпендикулярно до заданої прямої y=ax+b:

(2.5)

Рівняння прямої у відрізках

(2.6)

Переходи від одного вигляду рівняння прямої до іншого виконують за допомогою нескладних перетворень.

Приклад. Загальне рівняння прямої має вигляд 2 x-y +2=0.

Перейдемо до рівняння прямої у відрізках:

-2 x+y =2,

Перейдемо до рівняння з кутовим коефіцієнтом:

y =2 x +2.

Візьмемо на нашій прямій дві точки, наприклад, (x ₁; y ₁)=(-1;0) та (x ₂; y ₂)=(0;2),і побудуємо рівняння прямої, яка проходить через ці дві точки:

Наведемо ще декілька формул щодо прямих на площині.

Кут між прямими y = a ₁ x + b ₁ та y =a₂ x + b ₂ обчислюється за формулою

Прямі y = a ₁ x + b ₁ та y = a ₂ x + b ₂ отже, є паралельними, якщо a ₁= a ₂, та перпендикулярними, якщо a ₁× a ₂ = -1.

Точка перетину прямих є розв’язком системи рівнянь

Відстань від точки M (x ₁; y ₁) до прямої Ax+By+C =0 визначають за формулою

Приклад. Попит Q (кількість товару, що буде куплено) на товар залежно від його ціни p на ринку задається формулою p=p (Q)=500-10 Q. Пропозицію Q (кількість товару, що потрапить на ринок) залежно від ціни задає формула p = p (Q)=50+5 Q.

Зобразити графічно криві попиту та пропозиції і визначити ціну рівноваги.

Маємо такий графік (рис.2.5).

500

Пропозиція

p ^*

Попит

Q ^* Q

Рис. 2.5.

Ціну рівноваги p ^* (а також рівноважний випуск Q ^*) визначаємо як точку перетину прямих попиту та пропозиції, тобто розв’язуємо систему лінійних рівнянь

Помноживши друге рівняння на 2 і додавши до першого, отримаємо p ^*=200 та Q ^*=30.

Приклад. Нехай ринкова ціна за одиницю деякого виробу становить p =10. Витрати, пов’язані з випуском кожної одиниці цього виробу в деякій фірмі, V _c=5 (змінні витрати). Постійні витрати фірми становлять F _c=40. Визначити обсяг виробництва Q, за якого фірма матиме прибуток.

Загальні витрати фірми на виготовлення Q одиниць продукції описуються залежністю

T _c = F _c + Q×V _c = 40+5 Q.

Доход фірми від виготовлення і реалізації Q одиниць продукції становить

T _R = p ×Q =10 Q.

Визначимо такий випуск Q ^*, за якого доход фірми збігається з її витратами:

T _R = T _C,

10 Q = 40+5 Q,

Q ^* = 8.

Отже, прибуток (різниця між доходом і витратами) в цій моделі починається при Q ^*>8 і далі необмежено зростає (рис. 2.6).

T _c, T _R

T _R(доход)=10 Q

T _c(витрати)=40+5 Q

Q ^*=8 Q

Рис. 2.6.

Розглянемо також основні криві другого порядку та їхні рівняння. Це такі криві, рівняння яких містять змінні x ² і/або y ².

Рівняння кола з центром у точці (a; b) та радіусом r має вигляд

(x-a)²+(y-b)²= r ².

У частковому випадку (коло одиничного радіуса з центром у початку координат) це рівняння спрощується:

x ²+ y ²= r ².

Рівняння еліпса (геометричного місця точок, сума відстаней до яких від двох заданих точок є сталою) записується так (рис. 2.7):

A (x;y)

F ₁ F ₂

Рис. 2.7.

Точки F ₁(- c;0) та F ₂(c;0) називаються при цьому фокусами.

Виконуються такі властивості:

- для довільної точки A на еліпсі ;

- c ²= a ²- b ².

Рівняння гіперболи (геометричного місця точок (x;y), для яких різниця відстаней до фокусів F ₁ та F ₂ є сталою) має вигляд (рис. 2.8):

Для гіперболи виконуються такі властивості:

- для довільної точки A на гіперболі ;

- c ²= a ²+ b ².

A (x; y)

F ₁(- c;0) F ₂(c;0)

Рис. 2.8.

Рівняння параболи (геометричного місця точок, однаково віддалених від заданої точки і заданої прямої ) є таким (рис. 2.9):

y = 2 px

B A (x; y)

p /2 p /2

Рис. 2.9.

Тут для довільної точки A (x; y) параболи y = 2 px виконується рівність , де ‑ відстань від точки A до прямої .

2.3. Аналітична геометрія в просторі

Загальне рівняння площини в тривимірному просторі, яка проходить через точку (x ₀; y ₀; z ₀) перпендикулярно до вектора має вигляд

A (x - x ₀)+ B (y - y ₀)+ C (z - z ₀) (2.7)

або

Ax + By + Cz =0 (2.8)

Спеціальними площинами є площини OXY (рівняння z =0), OXZ (рівняння y =0) та OYZ (рівняння x =0).

Рівняння площини, яка проходить через три задані точки (x ₀; y ₀; z ₀), (x ₁; y ₁; z ₁), (x ₂; y ₂; z ₂) (якщо ці точки не лежать на одній прямій), є таким:

(2.9)

Приклад. Записати рівняння площини, яка проходить через точки M ₀(1;2;3), M ₁(2;1;2) та M ₃(3;3;1).

Маємо ,

звідки x +4 y -4=0.

Рівняння площини у відрізках є таким:

. (2.10)

Ця площина проходить через точки (a;0;0), (o; b;0) та (0;0; c).

Приклад. Ціни за одиницю кожного з трьох товарів становлять, відповідно, 2, 3 та 4 умовні одиниці. Бюджет споживача дорівнює 120 умовних одиниць. Зобразити графічно бюджетне обмеження цього споживача.

Нехай споживач на всі гроші купив x одиниць першого товару, y одиниць другого та z одиниць третього. Тоді виконується рівність

2 x +3 y +4 z =120.

Ми отримали бюджетне обмеження споживача як загальне рівняння площини.

Зручніше записати це обмеження у вигляді рівняння площини у відрізках (виконавши ділення на 120):

`Отже, споживач може купити або тільки 60 одиниць першого товару, або тільки 40 другого, або тільки 30 третього, а також може перебувати в довільній іншій точці площин за умов x ³0; y ³0; z ³0 (рис.2.10).