Тема 4. Функції від однієї змінної

1. Функція, границя функції.

2. Економічний сенс основних елементарних функцій.

3. Спеціальні функції та границі.

4.1. Функція, границя функції

Означення. Якщо кожному елементу x з області визначення D за деяким правилом поставлено у відповідність один і тільки один елемент y з області значень E, то говорять, що задано функцію y=f ( x ).

Функцію на практиці задають таблично, графічно, аналітично (за допомогою формули).

Приклад. Залежність (функцію) прибутку від витрат на рекламу задана такою таблицею:

Витрати на рекламу x	Прибуток f (x)
50	80
100	220
140	240
160	210
200	160

Областю визначення цієї функції є множина D ={50;100;140;160;200}, областю значень – множина E ={80;220;240;210;160}.

Приклад. Залежність (функція) Q ( p ) попиту Q на товар від його ціни p задана графіком (рис. 4.1).

Q ₁

Q ₂

p ₁ p ₂ p

Рис. 4.1.

Областю визначення цієї функції є відрізок D =[ p ₁; p ₂], а областю значень – відрізок E =[ Q ₁; Q ₂].

Приклад. Загальні витрати TC на виробництво Q одиниць продукції є функцією, що задана аналітично:

TC (Q) = 20 + 5 Q,

де 20 ‑ це фіксовані витрати (опалення, зарплата сторожеві, тощо), а 5 – це змінні витрати (витрати на кожну одиницю продукції).

Означення. Число b називається границею функції y=f (x) в точці a, якщо для довільної послідовності { x _n}, що збігається до точки (числа) a, відповідна послідовність значень функції { f (x _n)} буде збігатися до числа b.

Використовують позначення

За допомогою кванторів ∃ та ∀ це означення можна записати так:

≡ (∀e>0)(∃d>0)(∀ x)[| x - a |<d ® | f (x)- b | <e]

Приклад. Розглянемо функцію .

і співпадає із значенням y (1) = 2;

;

не існує.

Приклад. Розглянемо функцію .

Тут , хоча y (10)=5.

Границі функцій мають такі властивості:

1. якщо існують границі та , то

;

2. якщо існують границі та , то

;

3. якщо існують границі та , причому , то .

Означення. Функція y = f (x) називається неперервною в точці x = a, якщо існує границя цієї функції в точці a і

Приклад. Зарплата W продавця залежно від кількості x проданого товару (рис. 4.2) є функцією вигляду

50 x

Рис. 4.2.

Функція W (x) у точці x =50 не є неперервною (вона має розрив). Справді, хоча W (50)=200, проте границі не існує.

Приклади обчислення границь:

(тут використано властивість неперервності функцій та y = x ²);

2) знайти . Безпосередньо застосувати третю властивість не можна, оскільки , тому спершу скорочуємо дріб.

Тепер ;

3) .

4.2. Економічний сенс основних елементарних функцій

1. Лінійна функція y = kx + b (рис. 4.3).

Рис. 4.3.

Нахил k характеризує збільшення показника y, якщо факторна змінна x збільшиться на одиницю.

2. Квадратична функція y = ax ² + bx + c (рис. 4.4, 4.5).

y y

0 T x 0 T x

а б

Рис. 4.4.

У разі виконання умов на інтервалі [0; T ] графік квадратичної функції описує процес прискореного зростання (рис. 4.4,а), а у разі ‑ сповільненого зростання (рис 4.4,б).

y y

0 T x 0 T x

а б

Рис. 4.5.

За умов ця ж квадратична функція на відрізку [0; T ] описує процес прискореного спадання (рис. 4.5,а), а за умов ‑ сповільненого (рис. 4.5,б).

3. Кубічна функція y= ax ³+ bx ²+ cx + d.

Як приклад наведемо функцію загальних витрат на випуск деякої продукції CT = b ₀+ b ₁ Q + b ₂ Q ²+ b ₃ Q ³ залежно від її кількості (рис. 4.6):

Q ₁ Q ₂ Q ₃ Q ₄ Q

Рис. 4.6.

На інтервалі [ Q ₁; Q ₂] невелике збільшення витрат CT приводить до досить значного збільшення випуску продукції Q (діє так званий закон економії на масштабах виробництва). Проте на відрізку [ Q ₃; Q ₄] заради такого ж або навіть меншого збільшення випуску Q потрібно значно збільшити величину CT (закон зростаючих витрат). Тому важливо визначити точку перегину кубічної функції.

4. Обернена функція .

Частковий випадок оберненої функції зображено на рис. 4.7.

Рис. 4.7.

В оберненій залежності перебувають, наприклад, рівень зайнятості працездатного населення та рівень мінімальної зарплати.

Розглянемо функцію Енгеля , яка описує загальні затрати на споживання y залежно від доходу населення x (рис. 4.8).

b ₀

Рис. 4.8.

Параметр b₀ фіксує рівень насичення.

5. Логарифмічна функція y = b ×log_a(cx + d)+ k (у частковому випадку y = log_a x). Функція y = log_a(x +1) проходить через початок координат (0;0) і описує в деяких ситуаціях залежність обсягу випуску деякої продукції від затрат (рис. 4.9).

y (випуск)

x (затрати)

Рис. 4.9.

6. Степенева функція y = x ^a (0 < a < 1). Частковим випадком степеневої функції є функція . Графік степеневої функції дещо подібний до графіка функції y = log_a(x +1).

4.3. Спеціальні функції та границі

Без доведення приймемо такі результати:

; (4.1)

. (4.2)

Приклади. Знайти .

Знайти .

Число e має певний економічний сенс.

Нехай один раз за рік нараховуються відсотки в розмірі 12%. Тоді початковий внесок розміром в 1 грн. наприкінці року становитиме 1,12 грн.

Якщо ж щомісячно нараховують 1% (згідно правила складних відсотків), то наприкінці року матимемо

грн.

Нехай далі (звичайно, теоретично) складні відсотки нараховують 30 разів на місяць у розмірі 1/30%. Тоді майбутня вартість однієї гривні становитиме

грн.

У разі щогодинного нарахування відсотків

грн.

Перейшовши до границі (безперервне нарахування відсотків), отримуємо вартість у розмірі

грн.

Отже, чим менший проміжок нарахування відсотків, тим більшою буде майбутня вартість кожної гривні. Проте значення 1,1275 ніяк не може бути перевищене.

Функція вигляду y = e ^kx називається показниковою. При k >0 ця функція зростає, а при k <0 ‑ спадає.

Приклад. Попит на деякий товар в інтервалі [60;70] описує залежність p = e ^{0,05 Q}, а пропозицію – залежність p = 100 e ^- ^{0,02 Q} (рис. 4.10).

Пропозиція

Попит

60 70 Q

Рис. 4.10.

Порівняно з рис. 4.1 тут координатні осі переставлені місцями. Такі графіки прийняті в економічній літературі.

Показникова функція також може описувати процеси насичення (наприклад, додатковий продаж цукру внаслідок збільшення доходів населення). На рис. 4.11 зображений графік функції y = 10- e ^{- x}.