Тема 5. Диференціальне числення

1. Диференціювання функцій від однієї змінної.

2. Дослідження функцій за допомогою похідних.

3. Економічний сенс похідної.

5.1. Диференціювання функцій від однієї змінної

Означення. Нехай y = f (x) ‑ деяка функція; x ‑ деяка точка з області визначення y = f (x). Похідною функції y = f (x) у точці x називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, якщо приріст аргументу довільним чином прямує до нуля:

(5.1)

Використовують також позначення

Наведемо таблицю похідних від елементарних функцій:

C ¢=0;

x ¢ =1;

(x ⁿ)¢ = nx ^n-1 , у тому числі ;

;

, у тому числі ;

(sin x)¢ = cos x; (cos x)¢ = - sin x;

; ;

Є такі правила обчислення похідних:

(u + v)¢ = u ¢ + v ¢ ‑ похідна від суми;

(uv)¢ = u ¢ v + uv ¢ ‑ похідна від добутку;

‑ похідна від частки;

[ f (g (x))]¢ = f ¢(g (x))× g ¢(x) похідна від складної функції.

Приклади. Обчислити похідну від функції y = f (x) (продиференціювати функцію y = f (x)):

1) f (x) = 3 x ² + e ^x;

f ¢(x) = 3×2 x + e ^x;

2) f (x) = 3 e ^-2x + 4lg x;

f ¢(x) = ;

3) f (x) = ;

f ¢(x) =

;

4) f (x) = ;

f ¢(x) = ;

5) f (x) = sin² x = (sin x)²;

f ¢(x) = (2sin x)×(sin x)¢ =2sin x ×cos x =sin2 x;

6) f (x) = sin x ² = sin (x ²);

f ¢(x) = (cos(x ²))×(x ²)¢ = 2 x cos x ^2;

7) ;

f ¢(x)= (1/4)(1-sin3 x)^-3/4×(-cos3 x)×3.

Приклад. Обчислити другу похідну від функції y (x) = x ³ + sin x:

y ¢¢(x) = (y ¢(x))¢ = (x ³+sin x) ¢¢ =

= (3 x ²+cos x) ¢ =6 x – sin x.

Нагадаємо також, що функція y = f (x) називається диференційовною в точці x₀, якщо в цій точці існує похідна y ¢= f ¢(x).

Функція, диференційовна в деякій точці (на деякому відрізку) є неперервною в цій точці (на цьому відрізку).

5.2. Дослідження функцій за допомогою похідних

Означення. Функція y = f (x) має мінімум (максимум) у точці x ₀, якщо існує такий окіл точки x₀, що для всіх точок x ¹ x ₀ цього околу виконується нерівність f (x ₀)< f (x) (f (x ₀)< f (x)).

x ₀ x

Рис. 5.1.

Функція, показана на рис. 5.1, має два мінімуми та три максимуми. Нагадаємо, що поняття мінімуму та максимуму об’єднані в термін “екстремум”.

Теорема (необхідна умова існування екстремуму). Якщо диференційовна функція f (x) в точці x ₀ має екстремум, то в цій точці похідна f ¢(x ₀) =0.

Теорема. Якщо на деякому відрізку [ a; b ] похідна f ¢(x) від деякої функції є додатною (від’ємною), то на цьому відрізку функція f (x) зростає (спадає)

Теорема (перша достатня умова існування екстремуму). Якщо похідна f ¢(x) від деякої диференційоної функції f (x) в точці x = x ₀ дорівнює нулю і при x < x ₀ похідна f ¢(x)>0, а при x > x ₀ похідна f ¢(x)<0, то точка x ₀ є точкою максимуму. Якщо ж похідна f ¢(x) в деякому околі точки x ₀ змінює знак з від’ємного на додатний, то точка x ₀ є точкою мінімуму.

Теорема (друга достатня умова існування екстремуму). Якщо в точці x ₀ диференційовної функції y = f (x) перша похідна f ¢(x)=0, а друга f ¢¢(x)<0, то в цій точці є максимум (мінімум, якщо f ¢¢(x)>0).

Поняття мінімуму та максимуму не треба плутати з поняттями найбільшого та найменшого значень функції на деякому інтервалі.

Зазначимо, що умова f ¢(x)=0 не є достатньою для існування екстремуму функції y = f (x).

Нехай y = f(x) ‑ деяка функція та (x ₀; y ₀) ‑ точка з області визначення цієї функції. Проведемо через точку (x ₀; y ₀) дотичну до кривої (рис. 5.2).

y y = f (x)

D y

d y

d x =D x

x ₀ x

Рис. 5.2.

Рівняння цієї дотичної – це пряма

y = f (x ₀) + f ¢(x ₀)(x - x ₀) (5.2)

Величина f ¢(x ₀) = k = tga є нахилом кривої y = f (x) в точці x ₀.

Означення. Диференціалом від функції y = f (x) називається вираз dy = f ¢(x) dx, де dx = D x ‑ приріст аргументу (рис. 5.2).

Приклад. Нехай y = ln(x ²+1).

Тоді .

Приклад. Знайти екстремуми та інтервали зростання і спадання функції y = x ³ – 6 x ² +9 x.

Знаходимо похідну y ¢ =3 x ² – 12 x +9.

Розв’язуємо рівняння 3 x ² – 12 x +9=0, звідки x ₁=1; x ₂=3.

Досліджуємо знаки першої похідної

Інтервал	(-∞; 1)	1	(1; 3)	3	(3; +∞)
Знак f ¢(x)	+	0	-	0	+
Поведінка y = f (x)	Зростає	Максимум	Спадає	Мінімум	Зростає

Точки x ₁=1 та x ₂=3 можна також дослідити згідно з другою достатньою умовою екстремуму:

y ²(x) = 6 x – 12;

y ²(1) = - 6 < 0, отже, в точці x =1 функція y = x ³ – 6 x ² +9 x досягає максимуму;

y ²(3) = 6 > 0, отже, в точці x =3 ця функція має мінімум.

Означення. Функція f (x) називається випуклою (випуклою вверх) на відрізку [ a; b ], якщо на цьому інтервалі її графік розташований нижче від її дотичної (рис. 5.3,а). Функція f(x) називається увігнутою (випуклою вниз), якщо на [ a; b ] цей графік розташований нижче від дотичної (рис. 5.3,б).

y y

a b a b

а x б x

Рис. 5.3.

Теорема (достатня умова випуклості). Якщо у всіх точках інтервалу [ a; b ] друга похідна f ²(x) двічі диференційовної функції y = f (x) є додатною f ²(x)>0, то функція y = f (x) є увігнутою на [ a; b ]. Якщо f ²(x)<0, то функція y = f (x) випукла на інтервалі [ a; b ].

Означення. Точка x ₀, у якій функція y = f (x) змінює увігнутість на опуклість (або навпаки), називається точкою перегину функції y = f (x) (рис. 5.4).

Теорема (достатня ознака існування точки перегину). Якщо в точці x ₀ існує перша похідна f ¢(x) і f ²(x)=0, причому друга похідна f ²(x) змінює знак, то точка x ₀ є точкою перегину функції y = f (x) (рис. 5.4).

x ₀ x

Рис. 5.4.

Приклад. Знайти інтервали випуклості та увігнутості функції y = x ³ ‑ 6 x ² + 9 x.

Друга похідна y ²(x)=6 x -12 дорівнює нулю в точці x =2. Тому визначимо знаки цієї другої похідної на інтервалах (-∞;2) та (2;∞).

Аргумент x	(-∞;2)	2	(2;∞).
Друга похідна y ²(x)	<0	0	>0
Функція y = f (x)	Випуклість	Перегин	Увігнутість

Отже, функція y (x) є випуклою на інтервалі (-∞;2), у точці x =2 має перегин, а на інтервалі (2;∞) увігнута.

Приклад. Дослідити властивості логістичної кривої (рис. 4.12).

Логістичною функцією описують еволюцію продажу на ринку нового товару. Загальний вигляд логістичної функції (кривої) такий: . Дослідимо конкретну логістичну функцію вигляду .

При t =0 маємо y(0)= .

Знайдемо першу похідну від функції :

. Оскільки для всіх t вираз 0,5^t є завжди додатним, то перша похідна y ¢(x) ніколи не перетворюється в нуль, отже, логістична крива екстремумів не має.

Знайдемо другу похідну від y(t), тобто обчислимо

Розв’яжемо рівняння y ²(t) = 0 на інтервалі t >0, тобто рівняння

0,01-0,1×0,5^t = 0,

звідки 0,5^t = 0,1;

t lg0,5 = lg0,1;

t (-lg2) = -1;

t ₀= 1/lg2» 3,32.

Отже, при t ₀=3,32 логістична крива має перегин. Значення y (t ₀) в точці перегину

На інтервалі 0< t < t ₀ логістична функція увігнута (кількість проданого товару залежно від часу зростає щораз швидше). Проте на нескінченному інтервалі t ₀< t функція є випуклою (кількість проданого товару хоча й зростає, проте це зростання уповільнюється).

Приклад. Витрати на споживання деяких товарів (другої потреби) залежно від доходу описує функція Торнквіста (a, b, c >0). Дослідимо цю функцію (рис. 4.13).

Похідна завжди є додатнью на інтервалі z >0.

Друга похідна від’ємна.

Отже, витрати на споживання y збільшуються зі зростанням доходу z, проте швидкість цього зростання зменшується (граничні витрати зменшуються).

Обчислимо також .

Отже, витрати на споживання цього товару не можуть перевищити a.

Приклад. На інтервалі (0,1; 0,5) залежність розміру надходжень до бюджету y від ставки оподаткування x описує крива (функція) Лаффера (рис. 5.5):

Дослідимо цю функцію, обчисливши першу та другу похідні:

;

0,3 x

Рис. 5.5.

Легко бачити, що при x =0,3 похідна y ¢(x)=0, причому друга похідна y ²(x)>0. Отже, ставка оподаткування x =0,3 = 30% в нашому прикладі дає найбільше надходження до бюджету.

Із рівняння y ²(x) = 0 знаходимо точки перегину кривої

5.3. Економічний сенс похідної

Покажемо, як деякі економічні показники (граничне значення, темп приросту та еластичність) обчислюютьза допомогою похідної.

Означення (економічне). Граничним значенням My(x) показника y = y (x) називається приріст цього показника унаслідок додаткового збільшення аргументу x.

Нехай D x ‑ приріст цього аргументу, а D y ‑ приріст показника. Тоді . Якщо y=y (x) є неперервною фукцією від x, то, перейшовши до границі, отримуємо , тобто

My (x) = y ¢(x). (5.3)

Приклад. Випуск продукції Q залежно від затрат x описує функція (рис. 5.6).

Тоді граничний продукт .

Тепер , отже зі збільшенням затрат граничний продукт зменшується.

Q (випуск)

x (затрати)

Рис. 5.6.

Приклад. Корисність U від споживання деякого блага x задана функцією U=U (x)= ln(1+ x) (рис. 5.7). Тоді гранична корисність . Похідна M U¢= U ²(x)= .

Зі зростанням кількості спожитих благ їхня гранична корисність зменшується.

U (корисність)

x (кількість благ)

Рис. 5.7.

Означення (економічне). Темпом приросту Ty (t) величини y = y (t) називається відносна зміна значення y за деякий проміжок часу.

Нехай час t змінився на проміжок D t.

Тоді .

При D t ®0 маємо , тобто . (5.4)

Приклад. Зміну кількості населення деякої країни описує функція P = 100000000 e ^{0,02 t}. Тоді темп приросту цього населення

(протягом кожного наступного року кількість населення зростає на 2% по відношенню до попереднього).

Означення (економічне). Еластичністю Ey (x) показника y = y (x) за аргументом x називається відношення відносної зміни цього показника до відносної зміни аргументу.

Отже, . Перейшовши до границі при D x ®0, отримуємо

(5.5)

Приклад. Попит Q на деякий товар в залежності від його ціни p описує залежність (рис. 5.8).

p (ціна)

Крива попиту

D p

D Q

Q (величина попиту)

Рис. 5.8.

Визначимо еластичніть цього попиту. Згідно з отриманою формулою . Отже, зі збільшенням ціни на 1% попит на товар зменшиться на 2%. У разі зменшення ціни в 1,2 раза попит збільшиться в 2,4 раза.