2020-04-07
139
Пусть в каждой точке пространства, и в частности, на кривой (или на поверхности), задана векторная функция 
, которая состоит из 3 координатных скалярных функций и имеет вид:
= 
.
Пусть параметрически задана некоторая кривая. В каждой её точке существует вектор, расположенный на касательной, обозначаемый 
и равный 
. (это хорошо известный из физики вектор скорости 
). Если скалярно умножить на 
, получим числовую величину в каждой точке кривой.
Определение. Пусть дана некоторая кривая в пространстве 
. Во всех точках пространства (и в частности, на кривой) задана ограниченная и непрерывная векторная функция . Введём разбиение кривой на n частей, возьмём на каждой из этих частей по одной точке 
. Рассмотрим интегральную сумму: 
. Предел таких сумм при 
называется криволинейным интегралом 2-го рода (от векторной функции).
Обозначается 
Физический смысл: работа силы по перемещению точки по кривой.
Формулы вычисления:
Краткая формула для запоминания: 
.
Здесь видно скалярное произведение двух векторов, у каждого из которых по 3 координаты: 
и 
, который также можно записать в виде 
.
Более подробно для вычислений на практике:
1) Для параметрически заданной кривой в трёхмерном пространстве правая часть формулы пример такой длинный вид: 
На самом деле, ничего особо сложного в вычислениях нет, надо просто в функциях 
все переменные 
выразить через 
по тем формулам, которые задают параметрически кривую в пространстве. После этого всё сводится к определённому интегралу от одной переменной .
2) Для параметрически заданной кривой в плоскости: 
.
Пример. Точка движется по полуокружности радиуса 1 в верхней полуплоскости, и на неё действует сила 
. Найти работу силы.
Решение. Так как все точки расположены на окружности, то задаём параметрически: 
, 
, 
.
При этом 
, 
.
= 
= 
= 
.
ЛЕКЦИЯ № 4. 18.02.2020
