Замена в двойном интеграле. Полярные координаты

Кроме пары чисел , которыми можно задать точку на плоскости, можно задать также и таким образом: соединим точку с началом координат, длину этого отрезка обозначим . Угол между осью и этим отрезком обозначим .

Так как это прилежащий катет, а гипотенуза, тогда , аналогично , откуда следуют такие формулы:

Также возможен обратный пересчёт: , а угол: (это верно для 4 и 1 четвертей, то есть там, где основная непрерывная ветвь тангенса) и для 2,3 четвертей.

Диапазоны изменения таковы: , .

При замене переменных, соответственно, надо все переменные , присутствующие в функции, заменить на , а все на , то есть получим . Однако необходимо ещё заменить дифференциал, если помните, в 1-мерном случае это делали так: например, при было . В двумерном случае, дополнительный множитель также есть. Если бы просто написали вместо , то неверно задали бы искажение сетки координат при замене. Если изобразить дуги и радиусы, то сектора круга сужаются к центру, а когда переносим изображение в плоскость параметров то мы растягиваем эту сетку на некоторый прямоугольник, зелёный сектор по площади гораздо меньше красного, но без правильного пересчёта дифференциалов они получились бы равны. Чертёж - слева в плоскости параметров , справа в плоскости .

При том же растворе угла, чем ближе сектор к центру, тем меньше его площадь, и соответственно, меньше его влияние на интеграл. Для правильного учёта этих искажений, надо умножить на определитель матрицы линейного оператора порядка 2, эта матрица в то же время и является производной матрицей отображения .

При замене двух старых на две новые переменные в плоскости, существует уже 4 различных частных производных, и из них можно образовать матрицу 2-го порядка. Строение этой матрицы: .

Она называется матрицей Якоби, а её определитель - определителем Якоби, или «якобианом». В данном случае,

= , определитель: = .

Итак, доказали, что определитель Якоби полярной системы координат: . Выражение заменяется на .

Интеграл по той части фигуры, которая ближе к центру, как раз и будет взят с меньшим весом, а которая дальше от центра - с большим весом, ведь там больше. При замене , где , множитель фактически является одномерным якобианом, но только для матрицы порядка 1 определитель вычислять было не нужно, так как он совпадает с самим этим элементом.

При переходе к полярным координатам, фрагмент круга фактически отображается в прямоугольную область. А это удобнее для вычисления, так как границы внутреннего и внешнего циклов становятся независимы друг от друга.

Замечание. В декартовых координатах такие интегралы имели бы вид:

, что при вычислении внутреннего интеграла привело бы к выражениям с корнем типа и потребовало бы в некоторых примерах серию из нескольких подстановок.

ЛЕКЦИЯ № 3. 12.02.2020

Рассмотрим несколько примеров на тему «полярные координаты».

Пример. Доказать формулу площади круга с помощью полярных координат.

Решение. Так как надо вычислить площадь, то считаем .

= = = = = .

Пример. Вычислить интеграл где D - четверть круга единичного радиуса в первой четверти плоскости.

В декартовых координатах, этот интеграл имеет такой вид:

, что при вычислении внутреннего интеграла дало бы , в итоге привело бы к и потребовало бы ещё серию подстановок. В полярных координатах, решение гораздо более просто и удобно.

Луч находится в 1 четверти при . Радиус 1. Тогда:

= = = =

= = =

= = = .

Кстати, множители, не зависящие от , можно было сразу вынести во внешний интеграл, как видим, они всё равно умножаются на первообразную по и остаются неизменными, и выносятся во внешний интеграл по .

Пример. Вывести формулу площади сферы .