Во внешнем магнитном поле

Если катушка изготовлена из достаточно тонкого провода, то ее потокосцепление во внешнем магнитном поле выделяется как сумма магнитных потоков, сцепленных с отдельными витками:

где w – число витков катушки. Если магнитные потоки всех витков одинаковы, то .

  Рассмотрим случай, когда во внешнем магнитном поле находится массивный виток, по которому протекает ток  . Размеры поперечного сечения витка сравнимы с его диаметром. Внешнее магнитное поле характеризуется векторным магнитным потенциалом .

Рис 15

Известно распределение электрического тока в объеме проводника . Требуется определить потокосцепление витка с внешним магнитным полем. Собственное магнитное поле витка не учитывается. Выделим поперечным сечением витка . В объеме проводника ему соответствует трубка тока с током .

Трубка тока - это объем, ограниченный силовыми линиями плотности тока , проходящими через линию, которая ограничивает элемент поперечного сечения . Силовые линии тока замкнуты ( ). Они в совокупности образуют поверхность, ограничивающую объём  тонкого витка, это объём трубки тока с током .

    Сквозь поверхность, опирающуюся своими краями на трубку тока, проходит магнитный поток

 

   – контур, образованный трубкой тока. Этот поток сцеплен только с частью тока витка , эта часть равна . Потокосцепление трубки тока во внешнем магнитном поле равно

 

uде  единичный вектор, касательный контуру .

         Просуммируем потокосцепление всех трубок тока, из которых состоит виток, в пределе сумма переходит в интеграл по поперечному сечению витка S:

 

Где -объём витка, элемент объёма . Направления  и  на любой трубке тока совпадает, по этому

Через  обозначена проекция вектора A на вектор , которая равна его проекции на вектор , следовательно,

Величина  равна энергии, которой обладает виток с током  во внешнем магнитном поле с векторным потенциалом A. Существенным является тот факт, что потокосцепление массивного витка зависит от распределения электрического тока в его объёме.