Векторный потенциал плоскопараллельного магнитного поля

Векторный магнитный потенциал

Уровнения векторного потенциала.

    В соответствии с основной теоремой векторного анализа, соленоидальное магнитное поле (d ) обладает векторным магнитным потенциалом А, который вводится условием . При этом условие соленоидальности магнитного поля выполняется само собой

(d ). Что бы поле A определялось однозначно, необходимо задать его дивергенцию. Сделать это нужно так, что бы не нарушались уравнения электрического поля. Если магнитное поле создано постоянными токами и постоянными магнитами, неподвижными в пространстве, то можно положить:

(Во всяком случае приемлемость этого простейшего ограничения на  нужно проверить.)

    Теперь закон Ампера (полного тока) приводит к выводу, векторный магнитный потенциал подчиняется векторному уравнению Пуассона. Действительно, . Согласно известной формуле векторного анализа

а из условия (12) следует, что .

Таким образом                              

(13)

Это уравнение является сокращённой записью трёх скалярных уравнений:

                     

    Снаружи проводников, по которым протекают магнитный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа

Фундаментальное решение уравнения (13) представляется виде объёмного векторного потенциала:

Это сокращённая запись трёх скалярных объёмных потенциалов

           

   

Интегрирование выполняется по объёму проводников с током. Точка нулевого потенциала находится на бесконечности.

 

Векторный потенциал плоскопараллельного магнитного поля.

Рассмотрим магнитное поле длинного прямолинейного провода с током i, который направлен вдоль оси OZ. Магнитная индукция легко определяется по закону Ампера (полного тока)

 

                                                                   

в цилиндрической системе координат. Так как  и имеет только азимутальную составляющую то

,

                                                                    

Следовательно, A имеет только аксиальную компоненту .

Таким образом, ,

                             (14)

 

Значение логарифмического потенциала A зависит от точки выбора нулевого потенциала [тот же результат получается, если воспользоваться формулой (10):

Магнитное поле длинного магнитного провода с поперечным сечением S можно рассчитать,

применив принцип наложения. Разобьём провод на нити, параллельные оси Oz и несущие ток

После перехода к пределу интегральная сумма превращается в интеграл по поперечному сечению провода

 

Здесь