Формула полной вероятности

Теорема. Если события Н₁, Н₂,… Н_n образуют полную группу несовместных  событий и событие А может наступить лишь при условии появления одного из событий Н_i (i=1,2,…, n), то имеет место формула, которая называется формулой полной вероятности:

Р(А) =Р(Н1) Р(А/ Н1)+…+ Р(Нn) Р(А/ Нn)

(2.11)

 

Входящие в формулу события Н₁, Н₂,… Н_n  называют гипотезами.

Пример 2.9. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из неё наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если одинаково возможны все предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решение: Обозначим через А событие - извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров:

В₁ - белых шаров нет,  В₂ - один белый шар,  В₃ - два белых шара.

Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равновероятны,

 и сумма вероятностей гипотез равна единице, то условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров,

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, .

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было 2 белых шара, .

Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:

.

Формула Байеса

Теорема. Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) Н₁, Н₂,… Н_n, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса

, (i =1,2,… n), где Р(А) =Р(Н1) Р(А/ Н1)+…+ Р(Нn) Р(А/ Нn).

(2.12)

 

Пример 2.10. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – удовлетворительно и 1 – плохо. Имеется 20 вопросов, причем: отлично подготовленный студент может ответить на все вопросы, хорошо подготовленный – на 16, удовлетворительно подготовленный – на 10 и плохо подготовленный – на 5. Найти вероятность того, что случайно выбранный студент сможет ответить на доставшийся ему вопрос, и вероятность того, что этот студент плохо подготовлен и ему просто повезло с вопросом.

Решение: Введем следующие обозначения для заданных величин:

Н₁ – студент отличник

Н₂ – студент учится хорошо

Н₃ - студент учится удовлетворительно

Н₄ – студент  учится плохо

А – вопрос “хороший”

P(H₁)= 0,3 (3 из 10)

P(Н₂) =0,4 (4 из 10)

P(Н₃) =0,2 (2 из 10)

P(Н₄) =0,1 (1 из 10)

P(A/H₁) =20/20=1

P(А/Н₂) = 16/20=0,8

P(А/Н₃)= 10/20=0,5

P(А/Н₄)= 5/20=0,25

Воспользуемся формулой полной вероятности для вычисления P(А):

и формулой Байеса для вычисления P (Н₄/А):

.