Интегральная теорема МуАВРА-Лапласа

На практике часто нужно знать вероятность наступления события не одно определенное число раз, а вероятность того, что это число окажется заключенным в некотором интервале. Интегральная теорема Лапласа позволяет решить эту задачу.

Теорема. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0< p <1), событие наступит не менее m₁ раз и не более m₂ раз, приближенно равна

(3.4)

Значения функции Лапласа для положительных значений x (0£ x £5) приведены в таблице; для значений x >5 полагают Ф(х)= 0,5. Для отрицательных значений х используют эту же таблицу, учитывая, что функция Лапласа нечетная Ф(-х)=-Ф(х).

Пример 3.5. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р =0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз.

Решение: Требование, чтобы событие появилось не менее 75 раз, означает, что число появлений события может быть равно 75, либо 76, 77, …,100. Таким образом, в рассматриваемом случае следует принять , . Тогда

По таблице найдем Ф (1,25)=0,3944, Ф (5)=0,5.

Искомая вероятность

Дискретные случайные величины

Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Случайная величина обычно обозначается прописной буквой латинского алфавита X, Y, Z, а её возможные значения – соответствующими строчными буквами x,y,z.

Случайная величина Х называется дискретной, если множество её возможных значений счетное, т.е. все возможные значения можно занумеровать натуральными числами .