2020-04-12
257
Кроме интегральной функции распределения для непрерывных случайных величин вводится понятие плотности распределения вероятностей или плотности вероятности.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x), равная производной интегральной функции
| (5.1) |
Из соотношения (5.1) можно найти функцию распределения, интегрируя плотность вероятности в общем случае от -¥ до рассматриваемого значения х, т.е.
| (5.2) |
Плотность вероятности дает возможность найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-нибудь значение из интервала (a,b).
Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет какое-нибудь значение из интервала (a,b), равна определенному интегралу от её плотности вероятности в пределах от a до b:
| (5.3) |
Смысл плотности распределения вероятности состоит в том, что она указывает на то, как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.
Свойства функции f(x):
1. f(x)³0, т.к. плотность распределения является производной от её интегральной функции распределения, а функция распределения - неубывающая функция.
2. 
. В самом деле, по формуле (5.3) 
, а событие ‑¥< X <+¥ является достоверным событием, следовательно, его вероятность равна единице, т.е.
Р (‑¥< X <+¥)=1, а это значит, что и .
Пример 5.2. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана на всей оси ОХ равенством 
.
Найти постоянный параметр С.
Решение: Плотность распределения f(x) должна удовлетворять условию .
Потребуем, чтобы это условие выполнялось
Вычислим несобственный интеграл:
Таким образом,
Окончательно получим 
.
