Простейшая математическая модель поляризации

Будем рассматривать диэлектрик как совокупность электрических диполей, которые упорядочиваются в пространстве под действием внешнего электрического поля. Поляризацию диэлектрика можно охарактеризовать объемной плотностью дипольных моментов

 

                                 (1)

где N – число диполей в объеме ; размерность вектора поляризации . При отсутствии внешнего электрического поля диполи ориентированы в пространстве хаотически и их геометрическая сумма равна нулю, соответственно .

Выделим внутри поляризованного диэлектрика или вблизи его поверхности элементарный цилиндр, однородно поляризованный вдоль его оси (рис. 29). Охватим один из его торцов этого цилиндра воображаемой замкнутой поверхностью S с внешней нормалью . Внутри этой поверхности находится связанный заряд . Вычислим поток вектора поляризации сквозь поверхность S. Этот вектор отличается от нуля только на части поверхности S, пересекающей поляризованный цилиндр, поэтому

 

(2)

Рис. 29. Элементарный однородно поляризованный цилиндр

Если все диполи внутри поляризованного цилиндра одинаковы, то в соответствии с формулой (1)

где  - количество диполей в единичном объеме. Соответственно

где h – длина диполя, q – его заряд,  – число диполей в объеме , т.е. их число в одном слое диполей в поперечном сечении цилиндра . Так как в целом поляризованный цилиндр остается нейтральным, то  - это абсолютная величина связанного заряда, находящегося на нижнем основании цилиндра , в его поперечном сечении  и на его верхнем торце :

(3)

Возвращаясь к началу расчета (формула (2)), получаем, что

(4)

Поток вектора поляризации сквозь любую замкнутую поверхность равен заключенному внутри нее связанному заряду с противоположным знаком.

Если диэлектрик поляризован неоднородно, например, потому что сам диэлектрик неоднороден, т.е. представляет собой смесь разных веществ, то в каждом элементарном объеме содержится заряд , где  - объемная плотность связанных зарядов. В этом случае уравнение (4) целесообразно представить в дифференциальной форме

(5)

Наконец, найдем плотность связанного заряда на наклонном сечении цилиндра  (рис.29). Согласно формуле (3)

где  - угол между поперечным сечением цилиндра  и его наклонным сечении , ,  – нормальная составляющая вектора поляризации на наклонном сечении , которое может быть элементом поверхности поляризованного тела. Таким образом, на поверхности диэлектрика  (нормаль n внешняя).

Рассмотренный здесь механизм поляризации диэлектрика до крайности упрощен. В его оправдание можно сказать, что, во-первых, принципиально важные формулы типа (4) и (5) первоначально были получены с помощью таких же примитивных представлений о явлениях микромира, во-вторых, эти формулы были подтверждены спустя несколько десятков лет, когда знания физиков об атомах и молекулах стали достаточно полными, в – третьих, рассмотренный здесь механизм поляризации дает достаточно правильные представления и качественного, и количественного характера.