2020-04-12
88
Практическая работа по теме
Методы вычисления определенного интеграла.
Цель: рассмотреть вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной.
Теоретические сведения.
Метод интегрирования по частям.
Метод интегрирования по частям решает очень важную задачу, он позволяет интегрировать некоторые функции, отсутствующие в таблице, произведение функций, а в ряде случаев – и частное.
Данный метод позволяет свести исходный определенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, обратные тригонометрические, тригонометрические функции, а также их комбинации.
Если функции u= u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то имеет место формула интегрирования по частям:
Самое сложное, что есть в этом методе – это правильно определить, какую часть подынтегрального выражения брать за u, а какую за dv
|
|
|
Рассмотрим стандартные случаи.
· Для интегралов вида 
, 
или 
, где Pn(x) - многочлен, a – число. Удобно принять u=P(x), а за dv обозначить все остальные сомножители.
· Интегралы вида 
, 
, 
, 
, 
. Удобно принять P(x) = dv, а за u все остальные сомножители.
· Интегралы вида 
, 
, где a и b числа. За u можно принять функцию u = еах.
Пример 1. Вычислить 
Решение.
.
Пример 2. Вычислить 
Решение.
.
2. Интегрирование заменой переменной (подстановкой).
Пусть для интеграла 
от непрерывной функции сделана подстановка x = j(t).
Если: 1) функция x = j(t) и ее производная х/ = j/(t) непрерывны при tÎ[a;b];
2) множеством значений функции x = j(t) при tÎ[a;b] является отрезок [a;b]
3) j(a) = a и j(b) = b, то
Отметим, что: 1) При вычислении определённого интеграла методом замены переменной возвращаться к старой переменной не требуется;
2) часто вместо подстановки x = j(t) применяют подстановку t = g(x);
3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.
Алгоритм вычисления определенного интеграла методом подстановки:
1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
4. Находят новые пределы интегрирования.
5. Производят замену под интегралом.
6. Находят полученный интеграл.
|
|
|
Пример 1. Вычислить 
Решение. Замена: t = x2 -16; dt = 2 x dx; dx = 
.
Найдём новые пределы интегрирования. При x = 4, a= t(4) = 42 -16 =0; x = 5, b= t(5) = 52 -16 =9.
Получаем:
.
Пример 2. Вычислить 
Решение. Замена: t = 
,.
t -1 = 
, 2x + 1 = (t – 1)2, 
, dx = (t -1)dt.
Найдём новые пределы интегрирования. При x = 0, a= t(0) = 2; x = 4, b=t(4)=4.
Получаем:
.
Задания для самостоятельного решения.
Вариант 1.
1. При помощи формулы интегрирования по частям вычислите интегралы:
а) 
; б) 
2. Вычислите интегралы с помощью замены переменной:
а) 
; б) 
Вариант 2.
1. При помощи формулы интегрирования по частям вычислите интегралы:
а) 
; б) 
2. Вычислите интегралы с помощью замены переменной:
а) 
; б) 
Контрольные вопросы.
1. Что такое определенный интеграл?
2.Какими свойствами обладает определенный интеграл?
3.Что такое формула Ньютона-Лейбница?
4.Как осуществляется замена переменной в определенном интеграле?
5.Как осуществляется интегрирование по частям в определенном интеграле?
Литература.
1. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах: Учебное пособие / Под ред. В.Ф. Бутузова – М.: Физматлит, 2001.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие. – М.: Физматлит, 2001.
3. Дадаян А.А. Математика: Учебник для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования. - М.: Форум; Инфра -М, 2003.-552 с. (411)/(30)
