2020-04-12
88
Практическая работа по теме
Методы вычисления определенного интеграла.
Цель: рассмотреть вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной.
Теоретические сведения.
Метод интегрирования по частям.
Метод интегрирования по частям решает очень важную задачу, он позволяет интегрировать некоторые функции, отсутствующие в таблице, произведение функций, а в ряде случаев – и частное.
Данный метод позволяет свести исходный определенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, обратные тригонометрические, тригонометрические функции, а также их комбинации.
Если функции u= u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то имеет место формула интегрирования по частям:
Самое сложное, что есть в этом методе – это правильно определить, какую часть подынтегрального выражения брать за u, а какую за dv
Рассмотрим стандартные случаи.
· Для интегралов вида 
, 
или 
, где Pn(x) - многочлен, a – число. Удобно принять u=P(x), а за dv обозначить все остальные сомножители.
· Интегралы вида 
, 
, 
, 
, 
. Удобно принять P(x) = dv, а за u все остальные сомножители.
· Интегралы вида 
, 
, где a и b числа. За u можно принять функцию u = еах.
Пример 1. Вычислить 
Решение.
.
Пример 2. Вычислить 
Решение.
.
2. Интегрирование заменой переменной (подстановкой).
Пусть для интеграла 
от непрерывной функции сделана подстановка x = j(t).
Если: 1) функция x = j(t) и ее производная х/ = j/(t) непрерывны при tÎ[a;b];
2) множеством значений функции x = j(t) при tÎ[a;b] является отрезок [a;b]
3) j(a) = a и j(b) = b, то
Отметим, что: 1) При вычислении определённого интеграла методом замены переменной возвращаться к старой переменной не требуется;
2) часто вместо подстановки x = j(t) применяют подстановку t = g(x);
3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.
Алгоритм вычисления определенного интеграла методом подстановки:
1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
4. Находят новые пределы интегрирования.
5. Производят замену под интегралом.
6. Находят полученный интеграл.
Пример 1. Вычислить 
Решение. Замена: t = x2 -16; dt = 2 x dx; dx = 
.
Найдём новые пределы интегрирования. При x = 4, a= t(4) = 42 -16 =0; x = 5, b= t(5) = 52 -16 =9.
Получаем:
.
Пример 2. Вычислить 
Решение. Замена: t = 
,.
t -1 = 
, 2x + 1 = (t – 1)2, 
, dx = (t -1)dt.
Найдём новые пределы интегрирования. При x = 0, a= t(0) = 2; x = 4, b=t(4)=4.
Получаем:
.
Задания для самостоятельного решения.
Вариант 1.
1. При помощи формулы интегрирования по частям вычислите интегралы:
а) 
; б) 
2. Вычислите интегралы с помощью замены переменной:
а) 
; б) 
Вариант 2.
1. При помощи формулы интегрирования по частям вычислите интегралы:
а) 
; б) 
2. Вычислите интегралы с помощью замены переменной:
а) 
; б) 
Контрольные вопросы.
1. Что такое определенный интеграл?
2.Какими свойствами обладает определенный интеграл?
3.Что такое формула Ньютона-Лейбница?
4.Как осуществляется замена переменной в определенном интеграле?
5.Как осуществляется интегрирование по частям в определенном интеграле?
Литература.
1. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах: Учебное пособие / Под ред. В.Ф. Бутузова – М.: Физматлит, 2001.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие. – М.: Физматлит, 2001.
3. Дадаян А.А. Математика: Учебник для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования. - М.: Форум; Инфра -М, 2003.-552 с. (411)/(30)
