Теоретические сведения

Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики.

1. Путь при прямолинейном движении тела

Путь, пройденный телом со скоростью v(t) за отрезок времени [t₁,t₂], выражается интегралом .

Пример. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой v=2t+3t² (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.

Решение: применим формулу: тогда имеем:

2. Вычисление работы силы

Пусть под действием некоторой силы f(х) материальная точка М движется по прямой в направлении оси Ох. Требуется найти работу, произведенную силой f(х) при перемещении точки М из положения х=х₁ в положение х=х₂.

1) Если сила постоянна f(х)=С, то работа выражается следующим образом А=С(х₂-х₁).

2) Если сила переменная величина, то .

Пример. Сжатие S винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 5 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила 10 Н.

Решение. Сила F и перемещение S по условию зависимостью F=kS, k- постоянная (закон Гука). Выразим S в метрах, F – в ньютонах. При S = 0,01 м F=10 Н, т.е. 10=k×0,01, откуда k= 1000, F=1000S. Применим формулу:

3. Сила давления жидкости.

Пусть пластинка, имеющая вид криволинейной трапеции, погружена вертикально в жидкость, плотность которой ρ, таким образом, что ее боковые стороны параллельны поверхности жидкости и находятся ниже ее уровня на расстояниях a и b соответственно (рис.1.). Требуется определить силу давления жидкости на пластинку

Если пластинка находится в горизонтальном положении на глубине h от поверхности жидкости, то сила давлений P жидкости на эту пластинку будет равна весу столба жидкости, основанием которого является данная пластинка, а высотой – глубина h, т.е. P=gρhS, где

g =9, м/с – ускорение свободного падения, S – площадь пластинки.

Если же пластинка догружена в жидкость вертикально, то давление жидкости – сила давления на единицу площади – изменяется с глубиной погружения.

По закону Паскаля давление в жидкости передается одинаково по всем направлениям, в том числе и на вертикальную пластинку.

Выберем систему координат так, как показано на рис.1. Пусть уравнение кривой AB имеет вид y=f(x), где функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b].

Тогда давление жидкости на пластину выражается определенным интегралом .

Если в жидкость вертикально погружена пластинка A₁B₁B₂A₂ (рис.2), ограниченная прямыми x= a, x=b и кривыми y= y₁(x), y=y₂(x), то сила давления на эту пластинку вычисляется по формуле