Предел функции двух переменных

1 2 3 4

– предел функции двух переменных в точке.

Основные теоремы о пределах

1. – если предел функции двух переменных существует, то он единственный.

3. .

4. .

5. .

6. .

7. , .

Непрерывность функции в точке

Условия непрерывности функции в точке

1. определена в точке и в некоторой окрестности этой точки.

2. . 3. .

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва функции могут образовывать целые лини разрыва.

Частные производные первого порядка

– частная производная функции в точке по переменной х.

– частная производная функции в точке по переменной у.

– угловой коэффициент касательной к сечению поверхности плоскостью .

Частные производные высших порядков

Частные производные второго порядка функции , смешанные частные производные второго порядка:

Частные производные третьего порядка функции , смешанные частные производные третьего порядка.

Теорема Шварца. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

Дифференцируемость и полный дифференциал

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные и –необходимое условие дифференцируемости функции.

Если функция имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой: –достаточное условие дифференцируемости функции.