Энергия магнитного поля

Явления при замыкании и размыкании тока обусловлены индуктивностью цепи или самоиндукцией. Пусть, например, в цепь с аккумулятором включена катушка. Если каким-либо образом изменять ток в цепи, то собственный магнитный поток через катушку будет изменяться, и в цепи, помимо ЭДС аккумулятора, начнет действовать электродвижущая сила самоиндукции, которая по правилу Ленца будет препятствовать изменению питающего катушку тока. При этом удобно считать, что в дополнение к питающему току аккумулятора пойдет ток, вызванный ЭДС самоиндукции. Этот ток называется экстратоком или индукционным током. По правилу Ленца индукционный ток должен препятствовать причине (изменению начального тока в катушке), его вызвавшей. Следовательно, при увеличении тока в цепи индукционный ток потечет навстречу, а при уменьшении – в том же направлении, что и первичный ток.

Разберем явления, возникающие при замыкании и размыкании цепи. При замыкании цепи ток возрастает с нуля. Навстречу начинает течь индукционный ток (экстраток замыкания), который препятствует этому возрастанию. Поэтому ток в цепи достигает своего постоянного значения не сразу, а лишь через некоторое время, зависящее от величины индуктивности. Наоборот, при размыкании цепи ток исчезает не сразу, так как некоторое время течет экстраток размыкания, направленный так же, как и первичный ток. Отметим, что при резком размыкании цепи при определенных условиях величины ЭДС самоиндукции и экстратока размыкания могут быть велики, и превышать ЭДС источника величину тока, текущего до размыкания цепи. Поэтому на предприятиях для того, чтобы не повредить электрооборудованиеие, напряжение отключают не сразу, а понижают до нуля постепенно.

Теперь рассмотрим количественную оценку этого явления. Цепь, состоящая из источника постоянного тока с ЭДС e, катушки с индуктивностью и сопротивления, представлена на рис. 3.20. Полное сопротивление цепи (с учетом сопротивления обмотки катушки, внутреннего сопротивления источника) обозначим . При замыкании ключа К в первый момент помимо ЭДС e в цепи действует также ЭДС самоиндукции e _s. По закону Ома сила тока .

Учитывая формулу (3.26, а), получаем дифференциальное уравнение относительно функции :

Общее решение этого уравнения имеет вид

Величина константы С определяется из начального условия, показывающего, что в момент замыкания (при ) ток равен нулю. В итоге получим, что , и сила тока:

, (3.27)

где - постоянная, имеющая размерность времени и называемая временем установления тока. Из формулы (3.27) видно, что полный ток состоит из двух слагаемых. Слагаемое представляет собой экстраток замыкания. По прошествии достаточно большого времени экстраток замыкания становится очень малым, т.е. при остается лишь второе слагаемое , представляющее собой величину постоянного установившегося тока. Итак, ток в цепи устанавливается постепенно. Время установления определяется величиной , зависящей от индуктивности и сопротивления цепи. Величина по сути представляет собой время, за которое экстраток замыкания уменьшается в раз. В качестве упражнения предоставляем читателям самостоятельно построить графики зависимостей по формулам (3.27), (3.29).

Исследуем процесс размыкания цепи, представленной на рис. 3.21. Общий ток в цепи распределяется между катушкой с сопротивлением и индуктивностью и и сопротивлением . Сопротивление источника тока будем считать очень малым. При замкнутом ключе ток, текущий через катушку . При размыкании ключа ток в замкнутом контуре катушки и сопротивления падает до нуля не сразу, поскольку в контуре начинает действовать поддерживающая ток ЭДС самоиндукции. Согласно закону Ома величина тока в контуре . Применяя формулу (3.26,а), получим:

. (3.28)

Отсюда следует дифференциальное уравнение

которое решается с учетом начального условия (при сила тока ). В момент перед размыканием ключа через катушку идет ток , а через сопротивление идет ток . Но поскольку резистор обладает пренебрежимо малой индуктивностью, можно считать, что начальный ток в замкнутом контуре после размыкания ключа равен току через катушку. С учетом этого решение дифференциального уравнения имеет вид

, (3.29)

где . Решение (3.29) представляет собой экстраток размыкания. При . Величина представляет собой время, за которое сила тока в контуре убывает в е раз.

Дифференцируя выражение (3.28), найдем значение ЭДС самоиндукции:

Видно, что при условии в начальный момент времени после размыкания цепи величина ЭДС самоиндукции во много раз может превзойти значение . Это можно показать на опыте, заменив сопротивление лампочкой и соответствующим образом подобрать параметры цепи. Например, если В, можно взять лампочку, рассчитанную на 10 В. При замкнутом ключе лампочка будет гореть тускло. При размыкании ключа она на мгновение ярко вспыхивает. А если ЭДС индукции во много раз превысит значение ЭДС батареи, лампочка может даже перегореть.

Рассмотрим теперь явление размыкания цепи (рис. 3.21) с точки зрения закона сохранения энергии. Будем предполагать, что вместо резистора в цепь включена лампочка. Откуда же берется энергия, затраченная на вспышку лампочки? Источник тока уже отключен и не отдает энергию в контур. Следовательно, запасом энергии обладает катушка с током. Эту энергию она получила от аккумулятора, когда ключ был замкнут. В процессе самоиндукции при исчезновении тока в катушке её энергия и переходит в энергию вспышки.

Что собой представляет энергия катушки с током? В начальный момент времени по катушке идет ток , который создает магнитное поле. Исчезновение тока в катушке означает исчезновение магнитного поля. Значит, по сути, энергия катушки с током – это энергия её магнитного поля. Таким образом, при размыкании цепи в процессе самоиндукции именно энергия магнитного поля катушки переходит в энергию вспышки. Магнитное поле – форма материи, обладающая энергией.

Рассчитаем энергию магнитного поля катушки с током. Преобразуем формулу (3.28): . Помножим обе части последнего уравнения на :

. (3.30)

По закону Джоуля-Ленца левая часть (3.30) представляет собой количество теплоты , выделившееся в резисторе за время . Значит уравнение (3.30) можно переписать в виде:

. (3.30,а)

Проинтегрируем обе части уравнения (3.30,а), учитывая, что начальный ток равен , а конечный ток равен нулю:

Поскольку на сопротивлении тепло выделяется за счет энергии магнитного поля катушки, правая часть полученного уравнения должна представлять собой энергию катушки. Таким образом, энергия магнитного поля катушки с током:

(3.31)