Циркуляция и поток вектора магнитной индукции

 

     Циркуляция и поток вектора магнитной индукции (как и любого вектора вообще) определяются так же, как и для вектора напряженности электрического поля.

     Циркуляцией по отрезку прямой  однородного поля  называется скалярное произведение: , где - угол между векторами  и .

Рассмотрим участок  произвольной направленной кривой. Разобьем этот участок на мелкие отрезки , направленные так же, как и сама кривая. Тогда, циркуляцией вектора  по участку кривой  называется криволинейный интеграл , который представляет собой предел суммы при делении кривой на бесконечно малые отрезки:

 

.

 

Малый участок кривой можно считать прямым отрезком, а поле  в пределах этого участка - однородным, поэтому каждое слагаемое в сумме  представляет собой циркуляцию вектора  по отрезку .

Циркуляцию вектора  по замкнутой кривой будем обозначать как .

     Магнитным потоком   вектора  в однородном поле через плоскую поверхность площади  называется величина

 

  ,                                  (3.19)

 

где  - единичный вектор нормали к поверхности,  - угол между направлением вектора  и направлением нормали к поверхности. В системе СИ единица измерения магнитного потока Вебер (Вб).

Теперь рассмотрим участок произвольной поверхности . Потоком вектора  через участок поверхности  называется поверхностный интеграл, представляющий собой предел суммы при делении поверхности на куски  бесконечно малых площадей:

 

 .                             (3.19,а)

 

Малый участок поверхности  можно считать плоским, а поле  в пределах этого участка – однородным, поэтому каждое слагаемое в сумме  представляет собой поток вектора  через плоскую поверхность .

     Поток вектора  через замкнутую поверхность будем обозначать как .

     Сформулируем две теоремы о циркуляции и потоке вектора магнитной индукции.

     Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции (для поля в вакууме). Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому направленному контуру:

,                                           (3.20)

где  - алгебраическая сумма токов, пронизывающих произвольную поверхность, натянутую на контур, по которому вычисляется циркуляция. Направление обхода контура и направление нормали к натянутой на него поверхности связаны правилом буравчика. Если ток идет по направлению нормали, то его следует считать положительным, если наоборот – отрицательным.

Например, циркуляция вектора магнит­ной индукции по контуру , изображенному на рис. 3.14, равна .

Теорема о потоке вектора магнитной индукции. Поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность  равен нулю:

.               (3.21)

 

Теоремы о циркуляции и потоке вектора магнитной индукции полезно сравнить с соответствующими теоремами для вектора напряженности электрического поля. Вспомним теорему о потоке вектора напряженности электрического поля (теорема Гаусса, см. формулу 1.18):

 

.

 

Смысл этой теоремы в том, что источниками электрического поля являются электрические заряды. Они и создают поток вектора напряженности электрического поля. Силовые линии начинаются на зарядах и обрываются на них же. А смысл теоремы о потоке вектора магнитной индукции в том, что магнитных зарядов в природе не существует. Поэтому магнитные силовые линии нигде не начинаются и не заканчиваются, они замкнуты. Это и означает, что поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю (сколько линий войдет внутрь поверхности, столько и выйдет).

Циркуляция вектора напряженности электрического поля по любому замкнутому контуру равна нулю (уравнение 1.34):

 

.

 

Смысл этого уравнения в том, что электрическое поле, созданное любой системой зарядов, является полем потенциальным (подробнее см. п. 1.12). Электрическое поле, помимо напряженности - силовой характеристики, имеет еще и энергетическую характеристику – потенциал. Теорема о циркуляции для вектора магнитной индукции говорит о том, что источниками магнитного поля являются электрические токи (по сути, движущиеся электрические заряды), которые и создают циркуляцию вектора . Кроме того, поскольку циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру может быть отлична от нуля, магнитное поле – поле непотенциальное. Поля с замкнутыми силовыми линиями называют вихревыми или соленоидальными. Таковым и является магнитное поле.

Приведем несколько примеров на применение теоремы о циркуляции для магнитного поля.

Пример 3.6. Определить магнитное поле, создаваемое прямым бесконечно длинным проводником с током .

Решение. В качестве произвольного замкнутого контура  выберем окружность с радиусом , центр которой находится на оси провода (такой контур совпадет с одной из силовых линий – см. рис. 3.13, а). В данном случае скалярное произведение . Поскольку контур пронизывается всего одним током , по теореме о циркуляции для магнитного поля получаем:

.

 

Величина вектора  одинакова во всех точках контура, следовательно, её, как постоянную, можно вынести за знак интеграла:

 

.

Интеграл  представляет собой просто длину контура . Таким образом,

,

 

откуда находим величину магнитного поля на расстоянии  от провода:

 

.

 

Последнее выражение в точности совпадает с результатом, полученным в примере 3.3 (см. формулу 3.14) из закона Био-Савара-Лапласа.

Отметим, что формулой 3.14 можно пользоваться и в случае проводника конечных размеров при расчете поля приблизительно напротив центральной части проводника в точках, отстоящих от него на расстояниях, гораздо меньших длины проводника.

Пример 3.7. Найти магнитное поле внутри соленоида длиной , с числом витков  и током .

Решение. В качестве контура обхода выберем прямоугольный контур АСDЕ (см. рис. 3.15) так, что отрезок АС приблизительно лежит в средней части соленоида, а отрезок DЕ удален на большое расстояние от соленоида. По теореме о циркуляции для магнитного поля имеем:

 

.

 

Помещая небольшую магнитную стрелку в различные точки пространства, можно показать, что магнитное поле в средней части соленоида как снаружи, так и внутри, направлено параллельно оси соленоида. Следовательно, на отрезках контура   СD и ЕA скалярное произведение

 

,

 

а на отрезке АС:

.

 

Таким образом, циркуляции магнитного поля по отрезкам CD и ЕA равны нулю:

 

, ,

а по отрезку АС:

 

 

(здесь величина вектора магнитной индукции вынесена за знак интеграла, поскольку она должна быть постоянна на отрезке АС из-за осевой симметрии системы). На большом расстоянии от соленоида величина магнитной индукции близка к нулю, поэтому и циркуляция магнитного поля по отрезку DЕ равна нулю:

.

В итоге получим:

 

 

Сумма токов, пронизывающих контур ACDE:

 

,

 

где  - число витков, пронизывающих контур ACDE (на рис. 3.15 эти витки показаны),  - число витков, приходящееся на единицу длины соленоида. Тогда:

.

 

Если число витков на единицу длины соленоида представить как , где  - общее число витков, а  - длина соленоида, то:

 

.

 

Полученный результат совпадает с формулой (3.18) для поля на оси бесконечно длинного соленоида. Пользуясь теоремой о циркуляции, мы показали, что в случае достаточно длинного соленоида результат (3.18) можно использовать и для расчета поля в любой точке внутри соленоида в средней его части, а не только на оси.