Ток смещения. Уравнения Максвелла

 

Рассмотрим схему на рис. 3.29. Замкнём ключ. Конденсатор начнёт заряжаться, поэтому в течение некоторого малого времени по цепи пойдёт электрический ток . В пространстве вокруг провода с током появиться магнитное поле. Выберем произвольный замкнутый плоский контур L, пронизываемый проводом. Рас­смотрим две поверхности, натя­нутые на этот контур. Одна поверхность S ₁ пересекает про­водник, а другая поверхность S ₂ проходит между обкладками кон­ден­сатора. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля  по замкнутому контуру L (см. теорему о циркуляции, п. 3.17) равна суммарному току, прони­зывающемуповерхность, натя­нутую на контур L. Для поверх­ности S ₁ циркуляция равна мгно­венному току , текущему по проводнику. Если же рассмотреть поверхность S₂, то циркуляция век­тора напряженности по тому же самому контуру L равна нулю, по­сколь­ку проводник с током не пересекает поверхность S₂. Полу­чаем противоречие.

Рассмотрим ещё один «мыс­лен­ный» эксперимент. Окружим за­ряженный металлический шар про­водящей средой. Тогда шар на­чнёт разряжаться, и от него ра­ди­аль­но по всем направлениям потекут электрические токи. Электрический ток должен создавать магнитное поле, но при попытке определить его направление мы приходим к недоразумению. Ведь шар и токи симметричны, поэтому не существует какого-то «особого» направления, отличающегося от всех остальных, вдоль которого могло бы быть направлено магнитное поле. Значит, поля нет. Опять получаем противоречие.

В первом случае мы получили противоречие с теоремой о циркуляции. Совершенно понятно, что вокруг проводника с током должно быть электрическое поле и циркуляция вектора магнитной индукции по контуру L должна быть отлична от нуля. Второй рассмотренный случай опровергает самую основу магнетизма: магнитное поле – особая форма материи, существующая вокруг движущегося заряда или тока.

     А что, если магнитное поле создаётся не только движущимися зарядами? Ведь электрические поля существуют не только вокруг зарядов, но и порождаются переменными магнитными полями. Рассматривая подобные примеры, Максвелл пришёл к выводу, что магнитные поля, в свою очередь, могут порождаться переменными электрическими полями. Он «поправил» теорему о циркуляции (см. формулу (3.45)) следующим образом:

 

 .                                (3.49)

 

Величина  представляет собой поток вектора электрического смещения  через поверхность S, натянутую на контур L, соответственно величина  есть скорость изменения этого потока. Если учесть, что

 

,

 

то уравнение (3.49) можно представить следующим образом:

 

.                               (3.49,а)

 

Если электрическое поле постоянно, производная по времени вектора электрического смещения равна нулю: . В этом случае магнитное поле создаётся одними только токами. В присутствие переменного электрического поля величина  отлична от нуля и даёт дополнительный вклад в циркуляцию вектора . Это и означает, что магнитное поле порождается не только токами, но и переменным электрическим полем. В этом смысл уравнения Максвелла (3.49).

     Величину  Максвелл назвал током смещения:

 

.                                                   (3.50)

 

Уравнение Максвелла (3.49) можно записать в виде:

 

,                                      (3.49,б)

 

тогда по смыслу производная вектора электрического смещения представляет собой ток смещения, пронизывающий единичную площадь поверхности, или плотность тока смещения:

.                                                (3.50)

 

Действительно, ведь поток плотности тока через поверхность S есть полный ток, пронизывающий эту поверхность:

 

.

 

Ток смещения – воображаемый ток. Это удобная модель явления, поскольку мы привыкли к тому, что магнитные поля создаются движущимися зарядами или токами. Нам проще считать, что источником некоторого дополнительного магнитного поля является не переменное электрическое поле, а некоторый ток смещения, дополнительный к обычным токам проводимости. Сразу отметим, что ток смещения не просто дополняет токи проводимости, а всегда замыкает их. В результате получается, что полный ток всегда замкнут. Итак, теперь мы можем сказать, что в присутствие переменных электрических полей текут токи смещения, которые замыкают токи проводимости и порождают магнитное поле, наряду с токами проводимости.

Вектор электрического смещения в каждой точке пространства выражается через вектора напряженности электрического поля  и вектор поляризации   (1.25):

.

 

Тогда

.

 

Первое слагаемое представляет собой плотность тока смещения в вакууме. А второе слагаемое – плотность вполне реального тока связанных зарядов. Этот ток связан с изменением состояния поляризации вещества в переменном внешнем электрическом поле. При этом поляризационные заряды движутся, что соответствует некоторому току.

Отметим, что уравнение (3.50) напоминает уравнение (3.25, а), выражающее собой закон электромагнитной индукции. ЭДС индукции равна скорости изменения потока вектора магнитной индукции, а ток смещения равен скорости изменения потока вектора электрического смещения. Причиной возникновения ЭДС индукции является переменное магнитное поле, а причиной возникновения тока смещения является переменное электрическое поле.

Возвратимся к рассмотренным в начале этого раздела примерам и попытаемся дать им объяснение. Сразу обратим внимание на тот факт, что в обоих рассмотренных случаях присутствовало переменное электрическое поле. В первом случае в процессе зарядки поверхностная плотность заряда конденсатора  возрастала, а, следовательно, увеличивалось и напряженность электрического поля  между пластинами. Во втором случае заряд шара  уменьшался, а, следовательно, уменьшалось и поле  в окружающем пространстве.

Применим уравнение (3.49,б) для поверхностей S ₁ и S ₂, натянутых на контур L. Поверхность S ₁ пронизывается током проводимости , поэтому циркуляция вектора напряженности по контуру L: . Проводник не пересекает поверхность S ₂, поэтому суммарный ток проводимости, текущий через эту поверхность, равен нулю: . Но между обкладками конденсатора течёт ток смещения (см. рис. 3.29), порожденный переменным электрическим полем, поэтому: . Найдём ток смещения. Для простоты расчёта предположим, что поверхность S ₂ в области между обкладками плоская и параллельна обкладкам. Тогда поток вектора электрического смещения через поверхность S ₂ , где S – площадь обкладок. Следовательно, по формуле (3.50) получим:

.

 

В пространстве между обкладками поле однородно и напряженность (см. формулу (1.20,б)) , тогда вектор электрического смещения: . Находим скорость изменения вектора электрического смещения и ток смещения:

 

,

 

скорость изменения заряда конденсатора равна заряду, поступившему за единицу времени из провода, или силе тока) . Получили тот же результат, что и для поверхности S ₁. Результат вычисления циркуляция вектора напряженности теперь не зависит от поверхности, натянутой на этот контур. Противоречие устранено. Кроме того, мы показали, что величина тока смещения равна величине тока проводимости, т.е. ток смещения замыкает ток проводимости.

Используя представление о токе смещения, можно легко объяснить отсутствие магнитного поля в пространстве вокруг разряжающегося шара. В этом случае токи смещения, замыкая токи проводимости, текут противоположно токам проводимости из бесконечности к поверхности шара и по величине равны токам проводимости. В результате полный ток, текущий от поверхности шара, равен нулю, а, следовательно, нет и магнитного поля. Докажем, что суммарный ток смещения равен скорости изменения заряда шара  или полному току проводимости . Напряженность электрического поля заряженного шара

,

тогда

.

 

Плотность тока смещения на расстоянии  от центра шара

 

.

 

Тогда полный ток смещения, пересекающий сферическую поверхность радиуса :

.

 

После того как Максвелл ввёл понятие тока смещения и дополнил теорему о циркуляции, он сформулировал систему из четырёх фундаментальных уравнений, которая объединила все знания об электрических и магнитных явлениях:

                           (3.51)

 

Для описания полей в изотропных средах к системе нужно добавить уравнения связи между векторами  и ,  и :

 

 и .

 

Система уравнений (3.51) содержит в себе все основные законы электричества и магнетизма. Первое уравнение представляет собой закон электромагнитной индукции. Смысл уравнения в том, что электрическое поле может порождаться переменным магнитным полем. В этом случае электрическое поле является не потенциальным, а вихревым, его силовые линии замкнуты. Работа по перемещению заряда по замкнутому контуру в таком поле, а значит и циркуляция вектора напряженности вихревого поля, отличны от нуля. Левая часть уравнения (циркуляция электрического поля) представляет собой ЭДС индукции , а правая – скорость изменения магнитного потока .

Второе уравнение системы отражает тот факт, что магнитное поле (или буквально: циркуляция магнитного поля) может порождаться как токами проводимости  (движущимися свободными зарядами), так и переменным электрическим полем. Второе слагаемое в правой части уравнения представляет собой скорость изменения потока вектора электрического смещения  или ток смещения.

Третье уравнение системы представляет собой теорему Гаусса. Его смысл в том, что источником электрического поля (буквально: потока силовых линий) является заряд.

Наконец, четвертое уравнение системы свидетельствует о том, что магнитных зарядов не существует. Магнитные силовые линии нигде не начинаются и нигде не заканчиваются, они всегда замкнуты, т.е. магнитное поле – вихревое поле. Значит, если силовая линия входит в поверхность, то она не может оборваться внутри поверхности, а обязательно выходит из неё. И, следовательно, поток магнитных силовых линий через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Отсутствие в природе магнитных зарядов является причиной того, что уравнения (3.51) не симметричны относительно электрического и магнитного полей.

     Для стационарных, т.е. не меняющихся с течением времени, полей изменения потоков векторов  и  через любую мысленно выделенную в пространстве поверхность равны нулю. Поэтому равны нулю правая часть первого уравнения и второе слагаемое правой части второго уравнения системы (3.51). В этом случае система уравнений Максвелла в безындукционном приближении имеет вид:

 

                                               (3.52)

 

Стационарное электрическое поле создаётся системой неподвижных зарядов и называется электростатическим полем. Смысл первого уравнения системы (3.52) в том, что электростатическое поле потенциально, работа по перемещению заряда по замкнутой траектории в таком поле равна нулю. Второе уравнение свидетельствует о том, что в отсутствие переменных электрических полей источником магнитного поля может быть только ток или движущийся заряд. Третье и четвёртое уравнения остаются без изменений.

Одним из самых важнейших выводов, вытекающих из системы уравнений Максвелла (3.51), является вывод о возможности существования магнитного и электрического полей, не связанных с какими-то материальными источниками – зарядами. Электрическое и магнитное поля, порождая друг друга, могут распространяться в пространстве. Распространение электромагнитного возмущения называется электромагнитной волной. Радиоволны, видимый свет, инфракрасное, ультрафиолетовое, рентгеновское излучения, g-излучение – все эти явления представляют собой электромагнитные волны, отличающиеся частотами колебаний полей и длинами волн. Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме (её часто называют скоростью света)  м/с. Она выражается через электрическую и магнитную постоянные (что само по себе указывает на электромагнитную природу света)

.                                                 (3.53)

Таким образом, уравнения Максвелла являются фундаментом раздела физики, называемого Волновой Оптикой или в более широком смысле – Физической оптики, науке о природе света.

Более подробно электромагнитные волны будут рассмотрены в главе 4.

 

 

Природа магнетизма

 

Физика не только описывает то или иное явление природы, но и объясняет, почему это явление происходит. В самом начале нашего курса мы говорили о том, что некоторые элементарные частицы, такие, например, как протон или электрон, обладают свойством, которое называется электрическим зарядом. Заряды взаимодействуют с электрическими силами посредством особой формы материи – электрического поля. Но всё же ответить на вопрос, почему взаимодействуют заряды, или почему поле одного заряда действует на другой заряд, невозможно. Можно только сказать, что так устроена природа, и что основное свойство электрического поля – действие на заряды.

Движущиеся заряды создают магнитное поле и посредством этого поля взаимодействуют между собой с магнитными силами. Оказывается на вопрос о причинах магнитного взаимодействия ответить можно. Правда, основываясь на факте существования взаимодействия электрического. Этой важной проблеме и посвящён данный раздел.

Пусть параллельно прямому металлическому проводу длиной  с током  движется отрица­тельно заряженная частица на расстоянии  от провода и со скоростью v относительно про­вода, направленной против тока (рис. 3.30). Пусть, например, заряд частицы равен заряду электрона . Провод с током на рас­сто­янии  создаёт магнитное поле с индукцией  (см. формулу 3.14; предполагаем, что  и используем формулу для бесконечно длинного провода). Это поле действует на частицу с силой Лоренца , направленной к проводу. Электроны в проводе движутся в направлении, противоположном направлению силы тока в проводе, т.е. параллельно частице. Для простоты рассуждений (но без потери смысла) примем, что все электроны в проводе движутся также с постоянной скоростью v. Тогда сила тока  (см. формулу 2.23), где  - концентрация электронов; S – площадь поперечного сечения провода. Следовательно, сила Лоренца

 .                                       (3.54)

 

Действие этой силы обнаружит наблюдатель 1, связанный с системой отсчёта 1, покоящейся относительно провода. Отметим, что в системе отсчёта 1 провод электрически нейтрален – заряды электронов и ионов компенсируют друг друга, т.е. концентрации электронов и ионов одинаковы (и равны ), поэтому электрическая сила на частицу не действует.

Теперь перейдём в новую инерциальную систему отсчёта 2, движущуюся с постоянной скоростью v в направлении движения частицы. В этой системе отсчёта как частица, так и электроны в проводе будут покоиться. Зато движутся со скоростью v положительно заряженные ионы, т.е. узлы кристаллической решётки металла. Поскольку для наблюдателя 2, находящегося в этой системе отсчёта (т.е. движущегося со скоростью v), скорость частицы равна нулю, сила Лоренца тоже равна нулю. Получается, что сила, действующая на частицу, исчезла в новой инерциальной системе отсчёта. Однако, согласно принципу относительности Эйнштейна (который уже обсуждался в п. 3.15), в любых инерциальных системах отсчёта все физические явления должны протекать одинаково. В данном случае, независимо от выбора инерциальной системы отсчёта, должна существовать сила, действующая на частицу. Она должна быть одинакова для наблюдателей 1 и 2. Правда, в системе отсчёта 2 эта сила не может быть магнитной (силой Лоренца), следовательно, в этой системе отсчёта она имеет иную природу.

      Для того чтобы понять природу силы, действующей на частицу в системе отсчёта 2, необходимо обратится к одному из самых замечательных результатов специальной теории относительности Эйнштейна. Многие физические величины являются относительными. Это совершенно очевидно, когда мы говорим, например, о такой физической величине как скорость, которая может быть разной в различных системах отсчёта. Например, утверждение «тело движется со скоростью 5 м/с» бессмысленно, пока не будет указано, относительно какого тела (т.е. системы отсчёта) движется данное тело с этой скоростью. Долгое время таким же очевидным считался тот факт, что расстояние между двумя точками есть величина абсолютная, независящая от системы отсчёта. Эйнштейн подверг сомнению этот никем не доказанный факт. Согласно его теории относительности расстояние между двумя точками или размеры тела вдоль направления его движения (длина) могут изменяться, при этом поперечные размеры, в направлении перпендикулярном движению тела (ширина) не изменяются. Фактически, длина тела в зависимости от системы отсчёта может быть любой. Она изменяется от нулевого значения до некоторого максимального:

 .                                           (3.55)

 

Формула (3.55) показывает, что максимальную длину тело имеет в системе отсчёта, где оно покоится: при v =0 получаем . Минимальная же длина не ограничена. Она меньше в тех системах отсчёта, где скорость тела больше. При скоростях v, близких к скорости света , длина стремится к нулю.

     Пусть в системе отсчёта 1, где проводник покоится, его длина равна . В системе отсчёта 2 проводник движется, поэтому его длина и объём становятся меньше (площадь сечения  не изменяется). Число ионов кристаллической решётки  остаётся прежним, значит, при переходе к системе отсчёта 2 увеличивается их концентрация:

 

,

 

 где  - концентрация ионов в системе отсчёта 1,  - концентрация ионов в системе отсчёта 2. Электроны, наоборот, в системе отсчёта 1 двигались со скоростью v, а в системе отсчёта 2 они покоятся. Следовательно, концентрация электронов при переходе к системе отсчёта 2 уменьшается: . Отсюда следует вывод: в системе отсчёта 2 проводник становится электрически заряженным, поскольку концентрация положительно запряженных ионов стала больше концентрации электронов. Положительно заряженный провод будет притягивать отрицательно заряженную частицу. Таким образом, в системе отсчёта 2 на частицу по-прежнему действует сила, направленная к проводу. Только природа этой будет электрической.

Докажем, что электрическая сила, действующая на частицу в системе отсчёта 2, в точности равна силе Лоренца (см. формулу (3.54)), действующей на частицу в системе 1.

Сначала выразим линейную плотность заряда  провода через концентрацию зарядов:

.

 

Линейная плотность положительных зарядов провода , линейная плотность отрицательных зарядов . Результирующая линейная плотность заряда провода . Будем полагать, что , т.е. величина  очень мала (даже при больших токах дрейфовая скорость электронов в проводе составляет обычно лишь несколько мм/с). Тогда разность концентраций ионов и электронов в проводе:

 

,

 

(здесь использованы приближённые формулы:  и , справедливые при малых значениях ). Тогда

 

 .                                      (3.56)

 

     Электрическое поле, создаваемое проводом с линейной плотностью заряда  на расстоянии  от него  (см. формулу (1.19)). Сила, действующая на частицу в системе 2: . Учитывая выражение (3.56), получаем: . Так как  (см. формулу (3.53)), то: , что в точности совпадает с результатом (3.54). Равенство сил, действующих на частицу в системах отсчёта 1 и 2 доказано.

     Мы показали, что сила Лоренца, действующая в системе отсчёта 1, преобразуется в электрическую силу, действующую в системе отсчёта 2. Понятно, что справедливым будет и обратное утверждение о том, что электрическая сила, действующая в системе отсчёта 2, преобразуется в силу Лоренца при переходе к системе отсчёта 1. Таким образом, проявление магнетизма можно объяснить с точки зрения теории относительности. Говорят, что магнетизм– есть релятивистское явление.

     Релятивистскими явлениями обычно называют явления, которые можно объяснить при помощи теории относительности. Особенно сильно эти явления начинают проявлять себя при скоростях тел, близких к скорости света. Если скорости тел малы по сравнению со скоростями света, то релятивистские явления или эффекты обычно незаметны. Почему же столь явно проявляет себя сила Лоренца в системе отсчёта 1, ведь скорость частицы невелика? Почему же столь явно взаимодействуют, например, два параллельных провода с током? Ответ на эти вопросы прост: проводники, по которым течёт ток, в высокой степени нейтральны. Магнитные силы на фоне мощного электрического взаимодействия были бы незаметны (попробуйте доказать, что электрические силы в  раз больше магнитных сил). Однако электрическое взаимодействие отсутствует, и действие магнитных сил становится явным.

     В заключение отметим ещё один важный факт. В системе отсчёта 1 на заряженную частицу действовала магнитная сила, а в системе отсчёта 2 – электрическая. Поэтому, говоря о взаимодействии зарядов, можно говорить о величине силы взаимодействия, но не имеет смысла говорить отдельно об электрическом или магнитном взаимодействии, не указывая систему отсчёта, в которой ведётся наблюдение. Электрические и магнитные взаимодействия зарядов - две части одного и того же явления электромагнитного взаимодействия, одинакового во всех инерциальных системах отсчёта.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

 

1. На что действует магнитное поле? Запишите выражение для силы Лоренца. Как направлена эта сила? Чему равна её работа?

2. Каков характер движения заряженных частиц в однородных электрическом и магнитном полях?

3. Каким образом определяют массы мельчайших заряженных частиц?

4. Какая сила называется силой Ампера. Чему равен её модуль? Как она направлена?

5. Чему равна сила Ампера, действующая на замкнутый проводник с током в однородном магнитном поле?

6. Каково поведение рамки с током в магнитном поле?

7. В чём заключается эффект Холла? Для каких целей его используют? Объясните, как можно определить знак свободных носителей заряда.

8. От каких параметров и как зависит вектор магнитной индукции поля, создаваемого движущимся зарядом? Каким образом направлен этот вектор?

9. Сформулируйте закон Био-Савара-Лапласа. Приведите примеры его применения.

10.  Что такое силовые линии магнитного поля? Нарисуйте силовые линии магнитных полей а) прямого тока, б) кругового витка с током, в) соленоида, г) полосового магнита.

11.  Как взаимодействуют между собой витки соленоида?

12.  Сформулируйте теорему о циркуляции вектора магнитной индукции. Сформулируйте теорему о потоке вектора магнитной индукции. Каков физический смысл этих теорем? Приведите примеры на применение теоремы о циркуляции для магнитного поля.

13.  Каков принцип работы электродвигателя?

14.  Чему равна работа силы Ампера по перемещению витка с током в магнитном поле? Объясните, почему работа силы Ампера может быть отличной от нуля.

15.  Электродвигатель, обмотка которого имеет сопротивление 1 Ом подключён к напряжению 120 В. Сила тока, текущего по обмотке 15 А. Не противоречат ли эти данные закону Ома:  (В)?

16.  Дайте определение индуктивности контура. Выведите выражение для индуктивности соленоида.

17.  Сформулируйте закон электромагнитной индукции. Приведите примеры наблюдения этого явления.

18.  Что называется ЭДС самоиндукции?

19.  Объясните правило Ленца. Приведите примеры, демонстрирующие применение этого правила.

20.  Что такое токи Фуко?

21.  Что такое экстратоки размыкания и замыкания?

22.  Чему равна энергия магнитного поля контура с током?

23.  Объясните принцип работы генератора электрического тока.

24.  Объясните принцип действия трансформатора.

25.  Нарисуйте схему линии передачи электроэнергии. Почему электроэнергию нужно передавать под возможно большим напряжением?

26.  Объясните природу явления электромагнитной индукции.

27.  Что такое магнитная проницаемость среды?

28.  На какие группы делятся вещества в зависимости от магнитных свойств?

29. В чем заключается природа намагничивания веществ?

30.  Дайте определение намагниченности вещества.

31.  Сформулируйте теорему о циркуляции для магнитного поля в веществе.

32.  Дайте определение напряженности магнитного поля.

33.  Объясните механизмы намагничивания диамагнетиков, парамагнетиков и ферромагнетиков. Что происходит с этими веществами при выключении магнитного поля?

34.  Что называется магнитным гистерезисом?

35.  Нарисуйте и проанализируйте петлю гистерезиса.

36.  Как можно размагнитить ферромагнетик?

37.  Что такое ток смещения? В каких случаях он «течёт»? Приведите примеры.

38.  Запишите систему уравнений Максвелла и объясните смысл этих уравнений.

39.  Как выглядит система уравнений Максвелла для стационарных полей?

40.  Объясните природу магнетизма.