Средняя квадратическая

- невзвешенная  ;

- взвешенная      .

 

Наряду с рассмотренными средними рассчитываются так называемые структурные средние – мода и медиана.

Мода (Мо)- значение изучаемого признака, повторяющегося с наибольшей частой (или наиболее часто встречающееся значение данного признака).

Медиана (Ме) – значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Главное свойство медианы – сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины

.

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности и позволяет оценить его ассимметрию. В симметричных распределениях все три характеристики совпадают.

Преимущество средних показателей моды и медианы в том, что можно определить среднее значение: 1) по несгруппированным данным и 2) в неоднородной не подчиняющейся нормальному закону распределения совокупности.

Например, рабочие бригады в количестве 9 человек, имеют тарифные разряды: 4; 3; 4; 5; 3; 3; 6; 2; 6.

Чаще встречается признак 3, следовательно, этот тарифный разряд и будет модальным, т.е. Мо=3.

Для определения медианы необходимо провести ранжирование значений признака

2 3 3 3 4 4 5 6 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Центральным в этом ряду является рабочий с порядковым номером 5, имеющий 4 разряд. Следовательно, этот разряд и будет медианой Ме = 4.

Расчет среднего разряда, выполненный по формуле простой средней арифметической, даст следующий результат:

               = 4.

В рассмотренном примере структурная средняя Ме совпадает со средней арифметической, из чего можно сделать вывод об однородности совокупности и типичности рассчитанной средней. 

Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то Ме определяется как средняя из двух центральных значений.

Например, необходимо дать характеристику среднего дохода группы людей, насчитывающей 100 человек, из которых 99 человек имеют доходы в интервале от 100 до 200 долларов в месяц, доход последнего (сотого) составляет 50 тыс.долларов в мес (табл.10).

Таблица 10

Характеристика среднего дохода населения

 

№ п/п	1	2	3	4	…	50	51	…	99	100
Доход, доллары	100	104	104	107		162	164		200	50000

Средняя, рассчитанная по формуле простой средней арифметической, дает результат (650 долларов), имеющий мало общего с доходами основной части исследуемой группы. Поэтому в расчетах средней следует переходить к структурным средним (моде и медиане).

Медиана в совокупности равна Ме=163 доллара. Расчет выполняется по двум центральным значениям признака, т.е. =163. Полученный результат дает объективную характеристику уровня доходов 99% данной группы.

Определение моды и медианы в интервальных рядах распределения.

В интервальных рядах с равными интервалами мода определяется:

 

Мо=Х_Мо+h_Мо

где Х_Мо – начальное значение интервала, содержащего моду;

  h_Мо – величина модального интервала;

     – частота модального интервала;

   – частота интервала, следующего за модальным;

   – частота интервала, предшествующего модальному.

  В интервальных рядах с равными интервалами медиана определяется:

Ме=Х_Ме+h_Ме

 

где Х_Ме – начальное значение интервала, содержащего медиану;

  h_Ме – величина медианного интервала;

   – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу

Медианным называется интервал, накопленная частота которого составляет больше половины суммы частот (> ).

Моду и медиану в интервальном ряду можно определить и графическим методом, путем построения гистограммы и кумуляты.

Мода определяется по гистограмме распределения.

Медиана рассчитывается по кумуляте.