2020-04-12
1068
Лекция по «Математическому анализу» 30 марта 2020 года
(Записать в тетрадь конспект лекции)
Применение производной при вычислении пределов
Соотношения вида 
и 
принято относить к разряду неопределенностей при вычислении пределов.
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей 
и , который основан на применении производных.
Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ).
Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки а и обращаются в нуль в этой точке: f (a)= g (a)=0. Пусть 
в окрестности точки а. Если существует предел 
, то 
.
Иначе: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.
Пример 1. Найти предел 
.
Решение: как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида 
. Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
.
Пример 2. Найти предел 
.
Решение: 
.
Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 
).
Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки а, в этой окрестности 
, 
. Если существует предел , то .
Пример 3. Найти предел 
.
Решение:
Замечание. Если при вычислении предела по правилу Лопиталя вновь получается неопределенность или , то данное правило может быть применено еще раз. Это возможно только в том случае, если вновь полученные функции удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
Пример 4. Найти предел 
.
Решение:
Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида и , которые называются основными. Неопределенности вида 
, 
, 
, 
сводятся к двум основным видам путем тождественных преобразований.
1. Пусть 
, 
при 
. Тогда очевидны следующие преобразования:
или 
.
Пример 5. Вычислить предел 
.
Решение:
.
2. Пусть или 
и 
, или 
и 
, или и 
при . Для нахождения предела вида 
удобно сначала прологарифмировать выражение А = 
.
Пример 6. Вычислить предел 
.
Решение: имеем неопределенность вида 
. Логарифмируем выражение 
, получим: 
. Затем находим предел:
,
т.е. 
. Отсюда 
и 
.
Пример 7. Вычислить предел 
.
Решение: имеем неопределенность вида 
. Логарифмируем выражение 
, получим: 
. Затем находим предел:
,
т.е. 
. Отсюда 
, и 
.
