Исследование функций с помощью производной

Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции.

Возрастание и убывание функций

Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции, вспомнив предварительно понятие возрастающей и убывающей функции.

Пусть функция  определена на множестве D и пусть  – подмножество D.  

Определение. Если для любых значений  аргументов из неравенства  вытекает неравенство:  то функция называется возрастающей [неубывающей] на множестве .

Определение. Если для любых значений  аргументов из неравенства  вытекает неравенство:  то функция называется убывающей [невозрастающей] на множестве .

Теорема (необходимые условия).

Если дифференцируемая на интервале  функция  возрастает (убывает), то  для любого .

Теорема (достаточные условия). Если функция  дифференцируема на интервале  и   для любых , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

Пример. Исследовать функцию  на возрастание и убывание.

Решение: функция определена на интервале .

. 

 – нули производной. Определим знак производной на каждом интервале.

 при ;  при .

Вывод: данная функция возрастает на интервалах ; убывает на интервале .