2020-04-12
1467
Определение. Точка х 0 называется точкой максимума(точкой минимума) функции 
, если существует такая δ-окрестность точки х 0, что для всех 
из этой окрестности выполняется неравенство 
.
| 
|
| Рисунок 1. – Точка максимума. | Рисунок 2. – Точка минимума. |
Определение. Значение функции в точке максимума (точке минимума) называется максимумом (минимумом) функции.
Определение. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.
Теорема (необходимое условие экстремума – НУЭ).
Если дифференцируемая функция 
имеет экстремум в точке х 0, то ее производная в этой точке равна нулю: 
.
Геометрически равенство означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ох.
Обратная теорема неверна, т. е. если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Например, производная функция 
точке 
равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не экстремум.
|
|
|
Замечание. Непрерывная функция может иметь экстремум только в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.
Теорема (достаточное условие экстремума – ДУЭ-1).
Если непрерывная функция у=f (x) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки х 0 (за исключением, быть может, самой точки х 0) и при переходе через нее слева направо производная f ¢ (x) меняет знак с «+» на «–», то х 0 есть точка максимума, а с «–» на «+», то х 0 – точка минимума.
Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы. Из теорем НУЭ и ДУЭ-1 вытекает следующая схема исследования функции на экстремумы:
1) найти область определения функции;
2) найти производную функции;
3) найти критические точки функции;
4) выбрать из них только те, которые являются внутренними точками области определения функции;
5) исследовать знак производной 
слева и справа от каждой из выбранных критических точек;
6) в соответствии с теоремой ДУЭ-1 выписать точки экстремума (если есть);
7) вычислить значение функции в найденных точках экстремума.
Пример. Найти экстремумы функции 
.
Решение: исследуем функцию по приведенной выше схеме.
1) 
.
2) 
.
3) Решим уравнение 
, т.е. 
. Получим 
, 
.
4) Точки, подозрительные на экстремум: 
, 
, 
, т.к. исходная функция определена в точках 
.
5) Исследуем знак производной:
6) – точки минимума, – точка максимума;
7) 
, 
.
Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на определении знака второй производной.
Теорема (достаточное условие экстремума – ДУЭ-2).
|
|
|
Если в точке 
первая производная функции 
равна нулю 
, а вторая производная в точке существует и отлична от нуля 
, то при 
в точке функция имеет максимум и минимум – при 
.
