Максимум и минимум функции

Определение. Точка х ₀ называется точкой максимума(точкой минимума) функции , если существует такая δ-окрестность точки х ₀, что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство .

Рисунок 1. – Точка максимума.	Рисунок 2. – Точка минимума.

Определение. Значение функции в точке максимума (точке минимума) называется максимумом (минимумом) функции.

  Определение. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие экстремума – НУЭ).

Если дифференцируемая функция  имеет экстремум в точке х ₀, то ее производная в этой точке равна нулю: .

Геометрически равенство  означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции  касательная к ее графику параллельна оси Ох.

Обратная теорема неверна, т. е. если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Например, производная функция  точке  равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не экстремум.

Замечание. Непрерывная функция может иметь экстремум только в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

Теорема (достаточное условие экстремума – ДУЭ-1).

Если непрерывная функция у=f (x) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки х ₀  (за исключением, быть может, самой точки х ₀) и при переходе через нее слева направо производная   f ¢ (x) меняет знак с «+» на «–», то х ₀ есть точка максимума, а с «–» на «+», то х ₀ – точка минимума.

Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы. Из теорем НУЭ и ДУЭ-1 вытекает следующая схема исследования функции на экстремумы:

1) найти область определения функции;

2) найти производную функции;

3) найти критические точки функции;

4) выбрать из них только те, которые являются внутренними точками области определения функции;

5) исследовать знак производной  слева и справа от каждой из выбранных критических точек;

6) в соответствии с теоремой ДУЭ-1 выписать точки экстремума (если есть);

7) вычислить значение функции в найденных точках экстремума.

Пример. Найти экстремумы функции .

Решение: исследуем функцию по приведенной выше схеме.

1) .

2) .

3) Решим уравнение , т.е. . Получим , .

4) Точки, подозрительные на экстремум: , , , т.к. исходная функция определена в точках .

5) Исследуем знак производной:

6)  – точки минимума,  – точка максимума;

7) , .

Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на определении знака второй производной.

Теорема (достаточное условие экстремума – ДУЭ-2).

Если в точке  первая производная функции  равна нулю , а вторая производная в точке  существует и отлична от нуля , то при  в точке  функция имеет максимум и минимум – при .