Алгоритмы вычисления линейных и круговых сверток

 

9.1.1. Дискретная линейная свертка

Во временной области соотношение вход-выход ЛДС в случае использования импульсной характеристики может быть описано формулой дискретной линейной свертки:

.                                (9.1)

Для физически реализуемой системы импульсная характеристика  при , поэтому выражения для дискретной линейной свертки за счет замены верхнего индекса суммирования на  изменятся следующим образом:

.                                 (9.3)

Если последовательности  и  являются конечными с длительностями  и , то выходная последовательность  также является конечной с длительностью:

.

 

Например, при использовании в качестве входного сигнала единичного импульса длительностью  как и ожидалось, длительность выходного сигнала определяется длительностью импульсной характеристики: .

Соответственно, линейная свертка конечных последовательностей с длинами  и  определяется выражением:

 

,                        .                                                                  

где .

Рисунок 9.1 – линейная свертка конечных последовательностей

 

9.1.2. Цифровая обработка сигналов в частотной области

 

Алгоритмы дискретной линейной свертки применяются только для коротких последовательностей. Для дискретных сигналов с сотнями и более отсчетов, возникает проблема сокращения вычислительных затрат.

Сокращение вычислительных затрат достигается за счет цифровой фильтрации сигналов в частотной области и использования быстрых алгоритмов БПФ и ОБПФ.

Алгоритм фильтрации в частотной области записывается следующим образом:

1. Конечная последовательность отсчетов входного сигнала  и импульсная характеристика фильтра  дополняются нулями так, чтобы длины последовательностей стали равными.

2. Вычисляются ДПФ дополненных нулями последовательностей с результатами в виде  и .

3. Вычисленные ДПФ поэлементно умножаются для приближенной реализации умножения спектра входного сигнала на частотную характеристику фильтра:

 (приближенная реализация, так как непрерывные спектр и частотная характеристика дискретных сигналов заменяются дискретными отсчетами ДПФ).

4. Вычисляется ОДПФ от результата перемножения:

.

 

Для снижения вычислительных затрат при вычислении ДПФ входного сигнала и при обратном преобразовании во временную область целесообразно использовать алгоритмы БПФ и обратного БПФ (ОБПФ). Блок-схема алгоритма фильтрации в частотной области представлена на рисунке 9.3.

 

Рисунок 9.3 – Блок-схема алгоритма обработки в частотной области