Синтез ЦФ с линейной ФЧХ

Синтез ЦФ с линейной ФЧХ основан на представлении комплексной частотной характеристики фильтра в виде произведения вещественной частотной характеристики  и фазового множителя :

 

.                                        (3.16)

 

Вещественную частотную характеристику (ЧХ), как периодическую функцию частоты, можно представить рядом Фурье:

 

,                                         (3.17)

где .

Комплексную частотную характеристику с учетом (3.17) можно представить в виде:

 

.    (3.18)

 

Учтем, что в общем случае комплексная частотная характеристика ЦФ определяется z-преобразованием от импульсной характеристики:

 

.                                    (3.19)

 

В соответствии с выражениями (3.19) и (3.18) импульсную характеристику ЦФ можно представить через коэффициенты  ряда Фурье:

 

.                                        (3.20)

 

Ограничим импульсную характеристику конечным числом отсчетов  и потребуем, чтобы ФЧХ фильтра являлась линейной:

 

.                                               (3.21)

 

В этом случае импульсная характеристика ЦФ (3.20) примет вид:

 

.                               (3.22)

 

В операторной форме с учетом  выражение (3.22) запишется следующим образом:

 

.                                                      (3.23)

Множитель  можно рассматривать как оператор сдвига, смещающий последовательность коэффициентов  в сторону положительных значений  на интервал :

 

.                      (3.24)

 

Таким образом, с учетом выражения (3.17) импульсную характеристику ЦФ (3.24) можно записать в виде:

 

.   (3.25)

 

Для четных и нечетных функций частоты  выражение (3.25) с учетом  конкретизируется следующим образом:

 

;    (3.26)

 

.   (3.27)

 

С учетом действительного характера импульсной характеристики комплексный множитель  в выражении (3.27) следует отнести к ФЧХ фильтра с нечетной функцией , добавив к ней постоянное угловое смещение :

 

.

 

В этом случае множитель  в выражении (3.27) можно не учитывать. Соответственно, можно сделать вывод, что ЦФ с линейной фазой и нечетной частотной характеристикой могут использоваться для синтеза цифрового преобразования Гильберта, обеспечивающего сдвиг по фазе на 90°.

Васильев В.П. Основы теории и расчета цифровых фильтров: учеб. Пособие / В.П. Васильев, Э.Л. Муро, 2-е изд., стереотип. – М.: ИНФРА – М, 2018. – 272 с.

 

Лекция 9. Методы и алгоритмы вычисления дискретных сверток