Синтез рекурсивных фильтров по аналоговому прототипу

При синтезе частотно-избирательных фильтров удобно воспользоваться хорошо разработанным аппаратом расчета аналоговых фильтров.

Наиболее широкое распространение получили следующие методы:

1. Метод инвариантности импульсной характеристики.

2. Метод билинейного - преобразования.

3. Метод замены производных конечными разностями.

Наиболее употребительными являются следующие прототипы:

· Фильтр Баттерворта, имеющий максимально плоскую АЧХ в полосе пропускания и монотонно возрастающее затухание в полосе задерживания (рис. 7.2, а).

· Фильтр Чебышева I рода с равноволновой АЧХ в полосе пропускания и монотонно возрастающим затуханием в полосе подавления (рис. 7.2, б).

· Инверсный фильтр Чебышева II рода с монотонно возрастающим в полосе пропускания затуханием и равноволновой АЧХ в полосе подавления (рис. 7.2, в).

· Эллиптический фильтр (фильтр Золотарева — Кауэра) с равноволновой АЧХ как в полосе пропускания, так и в полосе подавления (рис. 7.2, г).

· Фильтр Бесселя с максимально плоской характеристикой группового времени запаздывания с аппроксимацией ФЧХ рядом Тейлора.

Рисунок 7.2 – типы аналоговых фильтров

Коберниченко В.Г. Расчет и проектирование цифровых фильтров: [учеб. - метод. пособие] / В.Г. Коберниченко. – Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2013. – 64 с.

7.2.1. Метод инвариантности импульсной характеристики (метод стандартного - преобразования)

Под инвариантностью импульсной характеристики понимается равенство отсчетов импульсной характеристики искомого цифрового фильтра значениям импульсной характеристики аналогового прототипа, взятым с периодом дискретизации.

Рисунок 7.1 – дискретизация импульсной характеристики аналогового прототипа

Предположим, что передаточная функция аналогового прототипа записана в виде суммы простейших дробей:

. (7.3)

В соответствии с обратным преобразованием Лапласа импульсная характеристика аналогового прототипа имеет следующий вид:

. (7.4)

После дискретизации получим требуемую импульсную характеристику ЦФ:

. (7.5)

Передаточная функция синтезированного цифрового фильтра в результате применения - преобразования имеет следующий вид:

. (7.6)

Полученная передаточная функция соответствует параллельной структуре цифрового фильтра. Структурная схема одного звена синтезированного цифрового фильтра с передаточной характеристикой

имеет следующий вид: рисунок 7.2.

Рисунок 7.2 – структурная схема одного звена цифрового фильтра

Таким образом, процедура синтеза ЦФ методом инвариантности импульсной характеристики содержит следующие шаги:

1. Задать требования к цифровому фильтру.

2. Рассчитать нули и полюса аналогового фильтра-прототипа и построить его передаточную функцию .

3. Разложить на простейшие дроби.

4. Записать передаточную функцию цифрового фильтра на основе соотношений (7.3) и (7.6).

Частотная характеристика полученного фильтра связана с частотной характеристикой аналогового прототипа периодическим повторением. Поэтому для данного метода коэффициент передачи аналогового прототипа должен быть малым на частотах выше частоты Найквиста. Следовательно, метод подходит для создания ФНЧ и ПФ, но неприменим для ФВЧ и РФ.

Пример использования метода инвариантности импульсной характеристики

Пусть передаточная функция аналогового прототипа имеет следующий вид:

Таким образом, в соответствии с выражением (7.3) можно записать параметры аналогового прототипа:

В соответствии с выражением (7.6) получим выражение для передаточной функции искомого цифрового фильтра:

Получим уравнение цифровой фильтрации. Для этого запишем передаточную функцию цифрового фильтра в виде:

где ,

В результате ряда математических преобразований последнего выражения можно получить:

После перехода от изображений к оригиналам z-преобразования, получим уравнение цифровой фильтрации:

7.2.2. Метод билинейного - преобразования

Преобразование Лапласа и - преобразование связаны между собой соотношением:

. (7.7)

Выражение (7.7) непосредственно не может быть использовано для расчета цифрового фильтра при известной передаточной характеристике аналогового прототипа, , так как обратное соотношение является трансцендентным:

. (7.8)

Это затруднение преодолевается использованием разложения в ряд:

Используя первый член разложения, можно получить:

. (7.9)

Данное преобразование представляет собой дробно-рациональную функцию от аргумента и называется билинейным z – преобразованием.

Передаточная функция цифрового фильтра получается из передаточной функции аналогового прототипа применением следующей замены:

. (7.10)

Рассмотрим свойства билинейного преобразования. Для этого получим:

. (7.11)

Таким образом, билинейное преобразование приводит к существенной деформации АЧХ аналога-прототипа при его пересчете в цифровую форму по сравнению с исходным соотношением . Связь между частотами АЧХ прототипа и частотами цифрового фильтра определяются из соотношения:

или

Окончательно связь между частотой аналогового прототипа и частотой цифрового фильтра имеет следующий вид:

. (7.12)

В соответствии с последним выражением вся бесконечная ось АЧХ аналогового прототипа полностью помещается в интервале Найквиста на оси цифровых частот от 0 до : рисунок 7.3. Следовательно, полностью исключается эффект наложения копий частотных характеристик, свойственный методу инвариантности импульсной характеристики. В области малых частот частотные характеристики аналогового и цифрового фильтров совпадают:

. (7.13)

Рисунок 7.3 – трансформация частотной оси при билинейном преобразовании

Эффект деформации АЧХ легко учитывается для частотно-избирательных фильтров, характеризуемых границами полосы пропускания, с использованием последнего выражения связи частот.

Порядок расчета фильтра следующий:

1) АЧХ рассчитываемого фильтра задается в масштабе частот и в этом же масштабе отмечаются характерные точки АЧХ.

2) С помощью преобразующей функции определяются те же характерные точки в масштабе частот для аналогового прототипа и составляется выражение для его передаточной функции .

3) Методом билинейного преобразования передаточная функция пересчитывается в передаточную функцию цифрового фильтра.

Таким образом, устранен недостаток, связанный с деформацией AЧХ аналогового прототипа.

Метод билинейного преобразования полностью исключает эффект наложения АЧХ, не требует повышения частоты дискретизации для уменьшения ошибок воспроизведения.

Метод используется, когда не требуется повышенная точность воспроизведения формы АЧХ аналогового прототипа.

Пример использования метода билинейного преобразования

Пусть передаточная функция аналогового прототипа описывается выражением:

С учетом выражения (7.10) можно получить следующее выражение для передаточной функции искомого цифрового фильтра:

где ;

Для получения уравнения цифровой фильтрации запишем передаточную функцию в следующем виде:

После ряда математических преобразований последнего выражения можно получить:

После перехода от изображений к оригиналам z-преобразования, получим уравнение цифровой фильтрации:

7.2.3. Метод замены производных конечными разностями

Метод основан на замене производных конечными разностями:

. (7.14)

Установим связь аргументов преобразования Лапласа и z-преобразования с использованием выражения (7.14). В этом случае после применения преобразования Лапласа к (7.14) можно записать: