Оптимальная линейная фильтрация неслучайного постоянного полезного сигнала

 

Пусть разностное уравнение для полезного сигнала имеет следующий вид:

 

  .                                                    (13.5)

 

Таким образом, неизвестный полезный сигнал является неслучайным и постоянным. Такому разностному уравнению соответствует модель полезного сигнала в виде полинома нулевого порядка:

 

,

 

где  - некоторый параметр неслучайного постоянного полезного сигнала (начальное значение).

 

В этом случае оптимальная оценка сигнала на фоне дискретного белого шума  методом МНК определяется выражением для оценки математического ожидания наблюдаемого случайного сигнала:

.                                                        (13.6)

 

В соответствии с разностным уравнением для полезного сигнала (13.5) сумму квадратов ошибки можно записать в следующем виде:

 

.                                (13.7)

 

Оптимальной оценкой полезного сигнала  будет оценка, минимизирующая сумму квадратов (13.7) или обращающая в ноль ее производную по оцениваемому параметру:

                              (13.8)

или

                                               ,

.

Для получения рекуррентного оптимального дискретного фильтра проведем математические преобразования оптимальной оценки методом МНК.

 

.                (13.9)

 

Первое слагаемое в выражении (13.9) включает в себя оптимальную оценку полезного сигнала в предыдущий момент времени :

.                                                     (13.10)

С учетом выражения (13.10) выражение (13.9) можно записать следующим образом:

.                         (13.11)

 

Таким образом, получено рекуррентное выражение для оптимальной оценки дискретного постоянного полезного сигнала:

.                         (13.12)

Выражение (13.12) может быть также записано и в следующем виде:

,                         (13.13)

,                                     (13.14)

           ,

где  - экстраполированное (предсказанное) значение измеряемого дискретного сигнала;

- коэффициент фильтрации по положению постоянного сигнала.

Структурная схема оптимального линейного дискретного фильтра постоянного сигнала имеет следующий вид: рисунок 13.1.

 

Рисунок 13.1 – структурная схема рекуррентной оптимальной линейной фильтрации постоянного сигнала

 

В соответствии с рисунком 13.1 оптимальный реккурентный фильтр для постоянного сигнала представляет собой дискретную следящую систему с переменным коэффициентом фильтрации и цифровым интегратором.

Переменный коэффициент фильтрации в данном случае стремится к нулю с течением времени.