double arrow

Оптимальная линейная фильтрация полезного сигнала с постоянным приращением


 

Пусть разностное уравнение для неслучайного полезного сигнала имеет следующий вид:

,                                                   (13.15)

где  - скорость изменения сигнала;

 - интервал дискретизации.

 

Разностному уравнению соответствует модель полезного сигнала в виде полинома первого порядка:

,                                       (13.16)

где ,  - некоторые параметры неслучайного полезного сигнала (начальное значение, скорость изменения).

Рисунок 13.2 – модель полезного и наблюдаемого сигналов

 

Параметры ,  должны быть оценены по результатам измерений , . Минимизируемый критерий в данном случае запишется следующим образом:

.                  (13.17)

 

В качестве оценок МНК будем использовать те значения параметров модели  и , для которых критерий оптимальности минимален или производные критерия оптимальности равны нулю:

;                         (13.18)

.                         (13.19)

Результаты дифференцирования по оцениваемым параметрам имеют вид:

;

.

После выполнения операции суммирования с точностью до несущественных постоянных множителей получим:




;

.

Таким образом, получена система двух линейных уравнений относительно искомых параметров  и . Решение системы имеет следующий вид:

 

;

.

Учтем следующие выражения:

 

; .

 

Оптимальные оценки параметров полезного сигнала методом МНК примут следующий окончательный вид:

;                                    (13.20)

,                                   (13.21)

где ;

.

 

Соответственно, оценка сигнала на момент последнего измерения запишется следующим образом:

,                       (13.22)

где .

 

Экстраполированное значение оценки сигнала на один дискрет времени вперед определяется выражением:

,                                     (13.23)

где .

 

Рисунок 13.3 - Оценивание методом МНК, экстраполяция

 

 

Дисперсии полученных оценок скорости , фильтрованного  и экстраполированного  сигналов с учетом некоррелированности шумов наблюдения  в различных дискретах времени запишутся в виде:

,

,                                  (13.24)

.

 

Оценивание методом рекуррентной фильтрации

 

Рекуррентные уравнения оптимальной фильтрации могут быть получены в результате взвешенного суммирования экстраполированного значения сигнала с текущим рассогласованием:

 

, (13.25)

 

где - коэффициент фильтрации по положению сигнала.

Вес текущего рассогласования  стремится к нулю, если экстраполированная оценка является идеальной ( ), и стремится к единице, если идеальным является текущий входной сигнал ( ). В последнем случае выражение (13.25) принимает вырожденный вид: .



Результирующие уравнения оптимальной дискретной линейной фильтрации имеют следующий рекуррентный вид:

 

,                                 (13.26)

,                                      (13.27)

,                                 (13.28)

,                                              (13.29)

,

,

где  - экстраполированное значение измеряемого дискретного сигнала;

- коэффициент фильтрации по положению сигнала;

 - измеренное значение скорости изменения дискретного сигнала;

 - экстраполированное значение скорости изменения дискретного сигнала;

- коэффициент фильтрации по скорости сигнала.

 

 

 Рисунок 13.4 - Оценивание реккурентным методом

 

Структурная схема оптимального линейного дискретного фильтра сигнала с постоянным приращением имеет следующий вид: рисунок 13.5.

В соответствии с рисунком 13.5 фильтр для фильтрации сигнала с постоянным приращением представляет собой дискретную следящую систему с двумя цифровыми интеграторами в разомкнутой цепи, измерением скорости приращения и переменными коэффициентами фильтрации контуров по положению и скорости.

Рисунок 13.5 – структурная схема рекуррентной оптимальной линейной фильтрации сигнала с постоянным приращением

 







Сейчас читают про: