2020-04-12
165
Поверяется вольтметр класса 0,5 (gи= 0,5%). Его пределы измерений (поддиапазоны) U ик Î {0,2; 2; 20}В. В качестве образцового прибора используется вольтметр с пределами U окÎ {0,1;1; 10; 100} В, который имеет класс точности 0,05/0,02, т. е.
dо = 
%,
где 
– конечное значение диапазона измерений; U – измеренное значение напряжения.
Во время испытаний в точке U и= 0,190 В (на поддиапазоне
0–0,2 В) показание образцового прибора оказалось U о = 0,18915 В.
Определить вероятности P { êe ê > Dи} (истинная погрешность e вне допуска) и P { êe ê ≤ Dи} (истинная погрешность e в допуске), где Dи – пределы допускаемой абсолютной погрешности испытуемого вольтметра.
Решение
Вычислим пределы допускаемых погрешностей испытуемого и образцового вольтметров. Предельная погрешность испытуемого вольтметра в точке U и= 0,18915 В ≈ 0,2 В в соответствии с его классом точности
Dи(0,2 В) = 
= 
= 0,001 В = 1 мВ.
Предельная относительная погрешность образцового вольтметра в этой точке равна:
dо(0,2 В) = 
= 0,13%.
Следовательно, предельная абсолютная погрешность образцового вольтметра равна:
|
|
|
Dо(0,2 В) = 
= 
= 0,00026 В= 0,26 мВ.
Для данной точки диапазона измерений уровень бракования (контрольные пределы допускаемой погрешности) Dи – Dо = 0,74 мВ.
Оценка действительной погрешности испытуемого вольтметра определяется разностью показаний приборов, т. е.
= U и – U о = 0,85 мВ.
Так как 0,85 > 0,74, то принимается решение – не годен. Но в действительности прибор может быть и годным.
Истинное значение погрешности e испытуемого прибора находится в интервале [ 
; 
].
Оценим вероятности того, что истинное значение погрешности больше допуска { êe ê > Dи} и меньше допуска { êe ê < Dи}.
В общем случае для 
< 0
P { êe ê > Dи} = 
,
для 
> 0
P { êe ê > Dи} = 
,
где P – вероятность; 
– плотность вероятности погрешности образцового прибора (математическое ожидание этой плотности совмещено на оси e со значением 
).
Рассмотрим два варианта видов законов распределения погрешности образцового прибора.
Вариант А. Погрешность образцового вольтметра имеет равномерное распределение с размахом 2Dо и математическим ожиданием
m = 0.
Тогда плотность вероятности
На рисунке 3.2 представлен график равномерной плотности, смещенный на значение оценки действительной погрешности испытуемого вольтметра. Площадь заштрихованной части (e > Dи) представляет собой вероятность превышения погрешностью предела допускаемого значения Dи. Она может быть рассчитана непосредственно по рисунку.
Рисунок 3.2 – К расчету вероятностей при равномерном
распределении погрешности образцового прибора
Но вернемся к вышеприведенным формулам вероятностей, которые справедливы для любых видов законов распределения.
|
|
|
Так как в данном примере 
> 0, то вероятность выхода за границы допуска рассчитывается следующим образом:
P {|e|>Dи} = 
= 
´ ´ 
= 0,21
То, что испытуемый вольтметр действительно метрологически не годен определяется вероятностью 0,21 (т. е. 21%), а то, что в действительности он годен – (1 – 0,21 = 0,79), т. е. 79%.
Очевидно для уменьшения риска (в данном случае первого рода) следует брать более точный образцовый прибор.
Однако при соглашении, что риск потребителя должен быть равен нулю, решение было принято правильным (0,21 > 0).
Вариант Б. Погрешность образцового вольтметра имеет нормальное распределение.
Приняв математичское ожидание погрешности образцового прибора равным нулю и предел допускаемой погрешности равным трем сигмам Dо = 3 s, где s – среднее квадратическое отклонение, получим s = 0,26/3 = 0,087 мВ.
На рисунке 3.3 представлен график плотности нормального распределения, построенный относительно точки на оси погрешностей e испытуемого прибора.
Рисунок 3.3 – К расчету вероятностей при нормальном
распределении погрешности образцового прибора
Искомая вероятность определяется площадью заштрихованной области и рассчитывается по формуле
P { êe ê > Dи} = 
= 
,
где F – интегральная функция распределения погрешности образцового прибора в точке 
.
Чтобы вычислить значение функции перейдем к нормированной переменной z = 
, которая для нашего примера равна 
. Воспользуемся таблицей функции Лапласа-Гаусса
.
Это значение определяет вероятность того, что прибор годен, т. е. P { êx ê< Dи}.
