1. dx; 3.
5. 6.
7. .
ТЕМА №2
Интегрирование способом подстановки
Если заданный интеграл простейшим преобразованием трудно привести (или нельзя привести) к табличному интегралу, то для его отыскания применяют особые приемы. Один из них – интегрирование способом подстановки. Еще этот метод называют способом замены переменной.
Прежде чем перейти к рассмотрению способа подстановки, вспомним понятие дифференциала функции.
Определение. Если функция y(x) в точке имеет производную , то произведение является дифференциалом функции у(х) в точке и обозначается dy(. Таким образом dy( dx.
dy = |
Интегрирование способом подстановки заключается в том, что выражение заменяется новой переменной.
Например в интеграле необходимо произвести замену переменной. Обозначим . Найдем дифференциал обеих частей равенства: d(
Дифференциал данного в интеграле переменного значения необходимо выразить через дифференциал введенной нами переменной.
Имеем: (таким образом вторую часть подынтегрального выражения выразили через dt).
Замену подставляем в интеграл, и под знаком интеграла получаем выражение, зависящее только от введенной новой переменной t. Если замена проведена правильно, то полученный интеграл должен быть табличным. Таким образом, получаем: - ответ выражен через вспомогательную переменную t.
Чтобы получить окончательный ответ, сделаем обратную замену :
=
Подстановка должна выбираться так: если одна часть подынтегрального выражения обозначается за t, то другая должна соответствовать dt с каким-нибудь коэффициентом. В нашем примере
t dt
Пример 1: . Произведем замену переменной: 2+x=t, dx=dt.
Пример 2. . Произведем замену:
.
Пример 3. . Произведем замену:
Тогда интеграл примет вид:
Пример 4. Произведем замену:
Пример 5. . Произведем замену:
= -3
Пример 6. Произведем замену: sinx=t; cosxdx=dt
Пример 7. . Произведем замену: lnx=t;
+C.
Задание №11.
№ | ЗАДАНИЕ | ВАРИАНТЫ ОТВЕТА |
1. | 1) | |
2. | 1) 4)- | |
3. | 1) | |
4. | 1) | |
5. | 1) | |
6. | 1) | |
7. | 1) | |
8. | 1) |
+C |
Для того чтобы интеграл приводился к виду , он должен состоять из дроби, числитель которой равен дифференциалу знаменателя с некоторым коэффициентом. Выражение, стоящее в знаменателе, должно быть в первой степени, в противном случае интеграл соответствует . Подстановка делается так, что весь ной.
Пример 1. . Произведем замену:
.
=
Пример 2. . Произведем замену: 1+3cosx=t; -3sinxdx=dt; sinxdx= dt. Тогда интеграл будет иметь вид: =- =- ln +C=
ln +C.
Пример 3. . Произведем замену:
=
Задание №12.
№ | ЗАДАНИЕ | ВАРИАНТЫ ОТВЕТА |
1. | ||
2. | 1) | |
3. | dx | 1)- +c; 3) – +C. |
4. | 1) | |
5. | 1) |
Для того чтобы интеграл приводился к виду , он должен содержать показательную функцию с показателем вида f(x). Этот показатель и заменяется новой переменной.
Пример 1. Произведем замену:
=
Пример 2. Произведем замену: sinx=t; cosxdx=dt.
Пример 3. Произведем замену:
.
Задание №13.
№ | ЗАДАНИЕ | ВАРИАНТЫ ОТВЕТА |
1. | 1) 3) . | |
2. | 1) |
К приводятся интегралы, содержащие sinf(x) или cosf(x), где f(x) заменяется через новое переменное.
Пример 1. . Произведем замену:
Пример 2. По известной Вам формуле: .
.
Во втором интеграле произведем замену: 2x=t; 2dx=dt; dx= .
Пример 3. .
Произведем замену в первом интеграле: 3x=t; 3dx=dt; dx=
Произведем замену во втором интеграле: 2x=t; 2dx=dt; dx=
Следовательно:
Задание №14.
№ | ЗАДАНИЕ | ВАРИАНТЫ ОТВЕТА |
1. | 1)-cos4x+C; 2) | |
2. | 1) | |
3. | 1) . |