2020-04-12
155
|
Пусть U=U(x) и V=V(x) – дифференцируемые функции. По свойству дифференциала d(U·V)=VdU+UdV UdV=d(U·V)-VdU.
Интегрируем обе части равенства: 
Используя свойства неопределенного интеграла, получаем формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла:
|
При её применении фиксируется разбиение подынтегрального выражения искомого интеграла на два сомножителя U и dV. При переходе к правой части формулы первый из сомножителей дифференцируется (при нахождении дифференциала dU=U´dx), второй интегрируется (V= 
Возможности применения формулы интегрирования по частям связаны с тем, что дифференцирование может существенно упростить один из сомножителей (при условии, что интегрирование не слишком усложнит другой).
Пример 1. 
Так как x´=1, а 
при интегрировании практически не изменяется (появляется лишь постоянный множитель 
, то данный интеграл можно найти интегрированием по частям.
Пусть U=x; dV= 
, тогда dU=dx; 
k=-2; b=0 =- 
|
|
|
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:
Замечание: Анализ полученного решения показывает, что постоянная С, возникшая при нахождении V (по заданному dV), не входит в запись окончательного ответа. Аналогично, в общем случае постоянная С, возникшая при нахождении V, исключается в процессе решения. Поэтому в дальнейшем, применяя формулу интегрирования по частям и найдя V, будем полагать С=0, что несколько упрощает запись решения.
Пример 2. 
.
Пусть U=x; dV= 
Тогда dU=dx; V= 
Пример 3. 
dx.
Пусть U=2+3x; dV= 
Тогда dU=d(2+3x)=(2+3x)´dx=3dx; V= 
.
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:
= 
Пример 4. 
U dV
Пусть arctgx=U; dx=dV
Тогда dU=(arctgx)´dx= 
Получаем согласно формулы интегрирования по частям:
=
= 
Указание. Все интегралы, которые находят с использованием формулы интегрирования по частям, можно разбить на три группы.
I группа: 
, где P(x) –многочлен.
В данной группе полагаем U=lnx; U=arcsinx; U=arccosx; U=artgx; U=arcctgx, а оставшееся выражение за dV=P(x)dx.
II группа: 
, где Р(х)- многочлен, k и b-числа.
В данной группе полагаем U=P(x), а оставшееся выражение за dV.
III группа: 
.
Эта группа сложных интегралов. Они находятся при помощи двукратного интегрирования.
Пример 5. 
Пусть U=lnx; dV=xdx.
Тогда dU=d(lnx)= 
; V= 
.
Пример 6. 
.
Пусть U=lnx; dV= 
.
Тогда dU=d(lnx)= 
.
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:
.
