Алгебраические операции над векторами

· Операция сложения.
Суммой двух свободных векторов и называется свободный вектор , начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом второго, если совмещены конец вектора и начало вектора .
Сумма двух векторов и () — это вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора приложено к концу вектора (правило треугольника).

Свойства операции сложения векторов:
1) Переместительное свойство: (коммутативность).
2) Сочетательное свойство: (ассоциативность).
3) Существует нулевой вектор , такой, что для любого вектора (особая роль нулевого вектора).
Нулевой вектор порождается нулевым закрепленным вектором, то есть точкой.
4) Для каждого вектора существует противоположный ему вектор , такой, что . Вектор называется вектором, противоположным вектору .
Правило параллелограмма (правило сложения векторов): если векторы и приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма этих векторов представляет собой диагональ параллелограмма, идущую из общего начала векторов и

Вычитание векторов определяется через сложение: .
Другими словами, если векторы и приложены к общему началу, то разностью векторов и будет вектор , идущий из конца вектора к концу вектора .

· Операция умножения вектора на число.

Произведением вектора на число называется вектор такой, что:
1) если λ > 0, ≠ , то получается из растяжением в λ раз: ;
2) если λ < 0, ≠ , то получается из растяжением в | λ | раз и последующим отражением: ;
3) если λ = 0 или , то .
Свойства операции умножения:
1) Распределительное свойство относительно суммы чисел: для любых действительных и всех (дистрибутивность).
2) Распределительное свойство относительно суммы векторов: (дистрибутивность).
3) Сочетательное свойство числовых сомножителей: (ассоциативность).
4) Существование единицы: .