Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат

Ортонормированный базис (ОНБ) — это три взаимно перпендикулярных вектора с длинами, равными единице.

Обозначения:

· Базисные орты — это векторы .

· Зафиксированная точка О – это начало координат.
Отложим от точки O векторы .
Полученная система координат — это прямоугольная декартова система координат.

· Декартовы координаты вектора — это координаты любого вектора в этом базисе:

Пример 11.

· Координатные оси — это прямые линии, проведенные через начало координат (точку O) по направлениям базисных векторов:
– порождает Ox;
– порождает Oy;
– порождает Oz.

· Абсцисса — это координата точки M (вектора в декартовой системе координат по оси Ox.
Ордината — это координата точки M (вектора в декартовой системе координат по оси Oy.
Аппликата — это координата точки M (вектора ) в декартовой системе координат по оси Oz.

· Декартовы прямоугольные координаты x, y, z вектора равны проекциям этого вектора на оси Ox, Oy, Oz, соответственно. Иначе:

где α, β, γ – углы, которые составляет вектор с координатными осями Ox, Oy, Oz, соответственно, при этом cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора
Для направляющих косинусов справедливо соотношение:

· Орт направления — это вектор единичной длины данного направления.

Скалярное произведение векторов .

· Скалярное произведение двух векторов — это число где

· Выражение скалярного произведения в декартовых координатах:

· Алгебраические свойства скалярного произведения:
1) ;
2) ;
3) ;
4) — не нулевой вектор и , если — нулевой вектор.

· Длина вектора :

Пример 13.

· Косинус угла между векторами:

· Проекция вектора на вектор :

· Условие перпендикулярности ненулевых векторов и :

· Векторное произведение векторов :
1) модуль где
2)
3) тройка векторов — правая.

· Алгебраические свойства векторного произведения:
1)
2)
3)
4)

· Выражение векторного произведения в декартовых координатах:

· Геометрические свойства векторного произведения:
1) Площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна:

2) Условие коллинеарности ненулевых векторов и :

· Двойное векторное произведение векторов:

· Смешанное произведение векторов:

· Объем параллелепипеда:
Пример 14.

· Объем пирамиды:
Пример 15.

· Условие компланарности :