Формации с решеточным свойством

Лемма [1]. Пусть – наследственная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп;

2) группа принадлежит , если , – -субнормальные -подгруппы группы ;

3) – формация Фиттинга и всякая -субнормальная -подгруппа группы содержится в -радикале этой группы.

Установим, что из 1) следует 2).

Пусть – контрпример минимального порядка. В этом случае , где -субнормальная -подгруппа группы , , и не принадлежит . Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы . Все условия леммы для фактор-групп выполняются, поэтому в силу выбора имеем, что . В виду теоремы 4.3 из [7] формация является насыщенной. Поэтому группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и .

Если , то – простая группа. Так как и – -субнормальная подгруппа группы , , то либо , либо . Значит, . Противоречие с выбором группы .

Пусть . Рассмотрим подгруппы и . Так как – собственная -субнормальная подгруппа и , то нетрудно видеть, что – собственная подгруппа , . Покажем, что .

Рассмотрим два случая.

1. Пусть – абелева группа. Тогда – -группа, – простое число. Так как и подгруппа -субнормальна в , то по лемме 2.6 получаем , .

2. Пусть – неабелева группа. В этом случае

есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и .

Рассмотрим подгруппу . Так как подгруппа -субнормальна в , то ввиду леммы 2.4 и подгруппа -субнормальна в группе . Пусть

Ввиду леммы 2.5 подгруппа -субнормальна в для любого из . Так как формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, то – -субнормальная подгруппа . Кроме того, из следует, что . Если , то . Получили противоречие с . Значит, . Так как нормальна в , то нормальна в . Но

где – неабелева простая группа и для всех . Поэтому

Из и наследственности формации следует, что . Но тогда . Далее, так как , то по лемме 2.5 подгруппа -субнормальна в . Значит, она -субнормальна и в , . Тогда из получаем что

Пусть – добавление к подгруппе в группе . Так как , то . В силу насыщенности формации из

получаем, что . Итак, , и .

Используя тождество Дедекинда, имеем

Если предположить, что , то . В этом случае

Так как , то не может быть -субнормальной подгруппой в . Следовательно, можно считать, что , .

Так как подгруппа -субнормальна в группе и , то из наследственности формации следует, что подгруппа -субнормальна в .

Так как формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, то – -субнормальная подгруппа группы . Кроме того, из и наследственности формации имеем . Обозначим , , и рассмотрим подгруппу . Если , то , что невозможно ввиду -субнормальности в подгруппы .

Пусть . Из , нормальности в и нормальности в следует, что нормальна в .

Так как

то

Таким образом получаем

Так как , то – подгруппа из . Тогда из -субнормальности в подгрупп и следует, что подгруппа

-субнормальна в . Это невозможно ввиду равенства . Значит, . Противоречие.

Докажем, что из 2) следует 3). Пусть , где – нормальная -подгруппа группы , . Так как

и , то . Из наследственности формации получаем, что подгруппа -субнормальна в . Ввиду леммы 2.6 подгруппа теперь -субнормальна в , . Так как выполняется условие 2) леммы, то

Следовательно, – формация Фиттинга.

Пусть – -субнормальная -подгруппа группы . Ввиду леммы 2.5 подгруппа -субнормальна в для всех . Так как выполняются условия 2) леммы, то

Отсюда следует, что

Наконец установим, что из 3) следует 1). Доказательство проведем индукцией по порядку группы . Пусть и – -субнормальные подгруппы группы и . Если – минимальная нормальная подгруппа группы , то можно считать, что . Учитывая лемму 2.6 по индукции получаем, что – -субнормальная подгруппа группы . На основании леммы 2.6 тогда подгруппа -субнормальна в . Если , то по индукции подгруппа -субнормальна в , и значит, ввиду леммы 2.5 она -субнормальна.

Будем далее считать, что для любой минимальной нормальной подгруппы группы . Ясно, что . Если , то в силу леммы 3.1.3 субнормальна в . Но тогда ввиду [8]

Это означает, что . Противоречие. Значит и . Аналогично доказывается, что . Итак, и .

По условию леммы – формация Фиттинга и , . Следовательно,

Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы , содержащейся в . Тогда

Из наследственности формации следует, что – -субнормальная подгруппа группы .

Итак, порождение двух -субнормальных подгрупп и группы -субнормальна в . Ввиду леммы 2.5 – также -субнормальная подгруппа группы . Значит, формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Лемма доказана.

Лемма [1]. Пусть – наследственная локальная формация. Если замкнута относительно расширений, то формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

Доказательство леммы следует из теоремы 5 работы [9] и теоремы 3.1.7.

Отметим, что из леммы 3.2 следует, что формации и обладают решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

Пусть обозначают некоторое подмножество множества натуральных чисел. Пусть – некоторое семейство классов групп. Обозначим через класс всех групп , представимых в виде

где и , .

Лемма [1]. Справедливы следующие утверждения:

1) пусть – наследственная локальная формация, обладающая решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, . Тогда и формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп;

2) пусть – некоторое семейство наследственных локальных формаций и для любых . Тогда и только тогда формация

обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, когда для каждого формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

Пусть формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп, . Ввиду леммы 3.1 и – формации Фиттинга поэтому из леммы 2.1.3 следует, что также является формацией Фиттинга.

Пусть – -субнормальная подгруппа группы и . Ясно, что подгруппа -субнормальна в для любого . Так как и , то ввиду леммы 3.1 получаем, что и . Следовательно,

Теперь утверждение 1 следует из леммы 3.1.

Докажем утверждение 2). Пусть формация

обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Отметим, что . Отсюда ввиду утверждения 1) настоящей леммы и леммы 3.2 следует, что формация обладает решеточным свойством для - субнормальных подгрупп.

Обратно, пусть для любого формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Пусть

Индукцией по порядку группы покажем, что любая группа , где , – -субнормальные -подгруппы группы принадлежат .

Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы . Ввиду леммы 2.6 из соображений индукции получаем, что . Так как – насыщенная формация, то имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и . Ясно, что

Отметим также, что

где – изоморфные простые группы для .

Докажем, что . Рассмотрим группу . Так как подгруппа -субнормальна в , то . Тогда по индукции

Рассмотрим пересечение . Если

то

Отсюда и из того факта, что – нормальная подгруппа и следует, что .

Пусть . Так как – нормальная подгруппа из , то – нормальная подгруппа из . А это значит, что

Из наследственности формации и получаем, что . Но тогда .

Из строения и

для любых , следует, что для некоторого . Так как

то нетрудно видеть, что группа имеeт -холловскую подгруппу .

Так как , то – -субнормальная подгруппа группы . Так как , и , – -субнормальные подгруппы, то по индукции имеем, что

Отсюда и из ввиду получаем . Аналогично доказывается, что . Таким образом,

Отсюда и из -субнормальности и в нетрудно заметить, что , – -субнормальные подгруппы группы . Из и ввиду наследственности следует, что и . Так как по условию формация обладает решеточным свойством для - субнормальных подгрупп, то ввиду леммы 3.1

Итак, содержит некоторую группу , где , – -субнормальные -подгруппы группы . Следовательно, ввиду леммы 3.1 формация обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп. Лемма доказана.

Лемма [1]. Пусть – нормально наследственная разрешимая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если в каждой разрешимой группе все -субнормальные подгруппы образуют решетку, то имеет вид

где для любых из ;

2) если – формация из пункта 1), то она обладает решеточным свойством для -субнормальных подгрупп.

1) Покажем, что является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка. Очевидно, что и .

Пусть – максимальный внутренний локальный экран формации . Согласно лемме 2.3

где – единственная минимальная нормальная подгруппа группы , ( – простое число), а – максимальная подгруппа группы , являющейся минимальной не -группой.

Докажем, что – циклическая -группа для некоторого простого числа . Допустим противное. Тогда в найдутся по крайней мере две несопряженные максимальные подгруппы и . Рассмотрим в подгруппу , . Ясно, что -субнормальна в , . Из , и по лемме 3.1 получаем, что . Получили противоречие с выбором .

Следовательно, – циклическая группа порядка , где – некоторое простое число, , – натуральное число. Допустим, что . Обозначим через – регулярное сплетение циклических групп и соответственно порядков и .

По теореме 6.2.8 из [2] изоморфна некоторой подгруппе группы . Так как и , то ввиду теоремы 2.4 из [5] .

Рассмотрим регулярное сплетение , где . Тогда , где – элементарная абелева -группа. Так как , то . Из

следует что .

Рассмотрим в подгруппы и , где – база сплетения . Ясно, что -субнормальна в , . Кроме того, . Отсюда

Так как , то по лемме 3.1. Получили противоречие.

Следовательно, и – группа Шмидта. Если и , то по лемме 1.1.6 также является группой Шмидта. Таким образом, любая разрешимая минимальная не -группа является либо группой Шмидта, либо имеет простой порядок. Тогда по лемме 3.1.12 является наследственной формацией.

Покажем, что формация имеет такой локальный экран , что

p(F) p'(F) p(F) Действительно. Пусть – локальный экран формации . Так как для любого простого числа из , то . Покажем обратное.

Пусть – группа минимального порядка из . Так как – наследственная формация и – насыщенная формация, то – минимальная не -группа и . Теперь, согласно лемме 2.3

где – единственная минимальная нормальная подгруппа группы , причем – -группа, , а – минимальная не -группа. Как показано выше является либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.

Пусть – группа простого порядка. Так как , то очевидно, что . Противоречие.

Пусть – группа Шмидта. Тогда – группа простого порядка, причем , . Так как , то очевидно, что

Отсюда следует, что . Получили противоречие. Следовательно .

Итак, и – полный локальный экран формации .

Покажем, что либо для любых простых , .

Вначале докажем, что из следует . Допустим противное. Пусть . Рассмотрим точный неприводимый -модуль над полем , который существует по лемме 18.8 из [6].

Возьмем группу . Так как и имеет единственную минимальную нормальную подгруппу, то ввиду леммы 18.8 из [6] существует точный неприводимый -модуль над полем . Рассмотрим группу