Проектирования конструкций

Рассмотрим типичную постановку задачи оптимизации с векторным критерием эффективности, т.е. задачу многокритериальной оптимизации.

Пусть система зависит от n варьируемых параметров (независимых переменных) , где  – точка n -мерного пространства. Предположим, что цель задачи состоит в максимизации (или минимизации) критериев :

 → , → ,…, → ,                                  (6.1)

где  – характеристики системы, связанные с оценками ее качества монотонной зависимостью.

Также задаются параметрические ограничения:

x_i^* ≤ x_i ≤ x_i^**, i =                                                            (6.2)

и функциональные ограничения:

   С_i* ≤ Ф_i() ≤ С_i**, i = ;                                           (6.3)

здесь x_i*, x_i** – заранее известные границы изменения параметров x_i; С_i*; С_i^**– заданные константы.

Могут быть заданы также и критериальные ограничения:

, i = ;                                                        (6.4)

где  - границы изменения критерия

Ограничения (6.2) выделяют в n -мерном пространстве параллелепипед с объемом   Ограничения (6.3) и (6.4) выделяют в параллелепипеде подмножество, которое в общем случае может быть не односвязным (рис. 6.1). Это множество G_x Rⁿ называют множеством альтернатив или допустимым множеством.

Задача оптимального проектирования сводится к решению многокритериальной задачи (6.1)–(6.4).

Сформулируем основные особенности задач оптимального проектирования конструкций (ОПК):

1. Области поиска оптимальных решений могут быть несвязными, а целевые функции – многоэкстремальными и не дифференцируемыми.

2. Информация о конкретном задании функциональных ограничений и о границах допустимой области изменения параметров часто отсутствует.

3. Требования, предъявляемые к проектируемой конструкции, и область допустимых значений критериев обычно уточняются с заказчиком в процессе решения задачи ОПК.

4. Из-за отсутствия информации об аргументированном назначении констант С_i*, С_i** и о возможностях проектируемой конструкции, предъявляемые к ней требования носят противоречивый характер, и ясного представления о том, что считать функциональными ограничениями, а что критериями качества, нет.

5. До постановки задачи ОПК сформулировать один критерий, который учитывал бы все желаемые качества проектируемой конструкции, практически невозможно, так как каждый показатель характеризует решение частично и, следовательно, функциональной полнотой обладает лишь их совокупность.

Рис. 6.1

6. Многие классы конструкций имеют пологие функции цели в районе оптимума, что обеспечивает свободу выбора параметров проектирования и возможность поэтапной оптимизации по другим критериям.

7. Реальное проектирование требует учета традиционных условий прочности, устойчивости и жесткости, а также конструктивных и технологических ограничений. Однако «активность» этих условий, т.е. какиеизних и в каком сочетании будут ограничивать действительные, поперечные размеры элементов конструкции, заранее не известны.

8. Условия равной прочности статически неопределимых конструкций, как правило, несовместимы с требованием минимума весапри ихрасчете на несколько сочетаний или неподвижную нагрузку, а также с требованием минимума стоимости конструкции с учетом ее изготовления.

9. При решении задач ОПК необходим более глубокий,чем в задачах строительноймеханики, анализ уравнений состояния: геометрических соотношений, физических зависимостей и уравнений равновесия. Проектируя пластины и оболочки, следует учитывать, что уравнения состояния образуют не алгебраическую, а дифференциальную систему. Все элементы, усложняющие задачи строительной механики (геометрическая и физическая нелинейность, сложные физические модели материала и т.п.), также усложняют и соответствующие задачи ОПК.

 

 Основные подходы к решению задач многокритериальной

Оптимизации

Многокритериальные задачи очень разнообразны по содержанию, по объему и качеству информации. Неслучайно до сих пор нет общепринятой классификации многокритериальных задач и подходов к их решению.

Основная трудность при решении многокритериальных задач связана с недостатком информации, требуемой для уменьшения неопределенности цели. Здесь возникает вопрос: а что же следует считать наилучшей альтернативой в задаче с несколькими целевыми функциями, которые противоречивы и достигают минимума (максимума) в различных точках множества альтернатив?

Основываясь на различных определениях наилучшей альтернативы, можно провести некоторую классификацию известных процедур решения многокритериальных задач.

1. Априорные процедуры(сведение многокритериальной задачи к однокритериальной с помощью компромисса и решающих правил).

2. Построение множества оптимальных по Парето альтернатив и выбор из этого множества альтернативы наиболее предпочтительнойс точки зрения лица, принимающего решения (ЛПР).

3. Апостериорные процедуры (аксиоматический подход набазе теории полезности для построения функции предпочтений ЛПР).

4. Адаптивный подход (человеко-машинные процедуры для выявления предпочтений ЛПР одновременно с исследованием множества альтернатив).

Предлагаемая классификация не охватывает всех известных процедур, кроме того, приведенные классы процедур частично пересекаются.