Понятие о компьютерном математическом моделировании

  

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ век. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

 

Человек издавна использует моделирование для исследования объектов, процессов, явлений с целью:

– определения и улучшения характеристик реальных объектов и процессов;

– понимания сути явлений и выработки умения приспосабливаться или управлять ими;

– конструирования новых объектов или модернизация старых.

Моделирование помогает человеку принимать обоснованные и продуманные решения, предвидеть последствия своей деятельности.

Есть целый ряд причин, по которым выгоднее исследовать не сам оригинал, а создать его модель.

1. В реальном времени оригинал (прототип) может уже не существовать или его нет в действительности. Для моделирования время не помеха.

На основании известных фактов методом гипотез и аналогий можно построить модель событий или природных катаклизмов далекого прошлого. Так, к примеру, родились теории вымирания динозавров. С помощью такого же метода можно заглянуть в будущее. Так, ученые-физики построили теоретическую модель «ядерной зимы», которая начнется на планете в случае атомной войны.

2. Оригинал может иметь много свойств и взаимосвязей. Чтобы глубоко изучить какое-то конкретное, интересующее нас свойство, иногда полезно отказаться от менее существенных, вовсе не учитывая их.

3. Исследуемый объект либо очень велик (модель Солнечной системы), либо очень мал (модель атома).

4. Процесс протекает очень быстро (модель двигателя внутреннего сгорания) или очень медленно (геологические модели).

5. Исследование объекта может привести к его разрушению (модель самолета).

 

Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение модели, отображающей лишь какую-то грань реальности и поэтому многократно более простой, чем эта реальность, и исследование вначале этой модели. Многовековой опыт развития науки доказал на практике плодотворность такого подхода. С точки зрения информатики, решение любой производственной или научной задачи описывается следующей технологической цепочкой: «реальный объект → модель → алгоритм → программа → результаты → реальный объект». В этой цепочке очень важную роль играет звено «модель», как необходимый, обязательный этап решения этой задачи. Под моделью при этом понимается некоторый мысленный образ реального объекта (системы), отражающий существенные свойства объекта и заменяющий его в процессе решения задачи.

Термин «модель» (от лат. modulus – мера, образец) широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений.

Модель – упрощённое подобие реального объекта, процесса или явления, которое отражает его существенные особенности.

Модель - материальный объект, система математических зависимостей или программа, имитирующая структуру или функционирование исследуемого объекта.

Моделирование - представление различных характеристик поведения физической или абстрактной системы с помощью другой системы.

Математическое моделирование - метод исследования процессов и явлений на их математических моделях. Изучение компьютерного математического моделирования открывает широкие возможности для осознания связи информатики с математикой и другими науками - естественными и социальными. Компьютерное математическое моделирование в разных своих проявлениях использует практически весь аппарат современной математики.

Основные свойства модели:

 

– конечность: модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;

– упрощенность: модель отображает только существенные стороны объекта и, кроме того, должна быть проста для исследования или воспроизведения;

– приблизительность: действительность отображается моделью грубо, или приблизительно;

– адекватность моделируемой системе: модель должна успешно описывать моделируемую систему;

– наглядность, обозримость основных свойств и отношений;

– доступность и технологичность для исследования или воспроизведения;

– информативность – модель должна содержать достаточную информацию о системе (в рамках гипотез, принятых при построении модели) и давать возможность получить новую информацию;

– сохранение информации, содержавшейся в оригинале (с точностью рассматриваемых при построении модели гипотез);

– полнота: в модели должны быть учтены все основные связи и отношения, необходимые для обеспечения цели моделирования;

 – устойчивость: модель должна описывать и обеспечивать устойчивое поведение системы, если даже та вначале является неустойчивой;

– замкнутость: модель учитывает и отображает замкнутую систему необходимых основных гипотез, связей и отношений.

Классификации моделей

В зависимости от того, какой фактор является наиболее важным при моделировании, для классификации моделей используют разные признаки:

 – по области использования;

– по фактору времени;

 – по отрасли знаний; 

– по форме представления.

Классификация моделей по области использования

Учебные – используются при обучении.

Опытные – это уменьшенные или увеличенные копии проектируемого объекта. Используют для исследования и прогнозирования его будущих характеристик (аэродинамическая труба).

Научно-технические – для исследования процессов и явлений.

Игровые – репетиция поведения объекта в различных условиях.

Имитационные – отражение реальности в той или иной степени (это метод проб и ошибок).

Классификация моделей по фактору времени

Статические – описывают состояние системы в определенный момент времени (единовременный срез информации по данному объекту). Примеры: классификация животных, строение молекул, список посаженных деревьев, отчет об обследовании состояния зубов и т. д.

Динамические – описывают процессы изменения и развития системы (изменения объекта во времени). Примеры: моделирование движения тел, развития организмов, процесс химических реакций.

 Классификация моделей по отрасли знаний – это классификация по отрасли деятельности человека (математические, биологические, химические, социальные, экономические, исторические и т. д.).

Классификация моделей по форме представления

– материальные (предметные, физические) – это модели, которые имеют реальное воплощение и отражают внешние свойства или внутреннее устройство моделируемых сущностей, суть процессов и явлений в объекте-оригинале. Материальное моделирование – это экспериментальный метод познания окружающей среды. Примеры: детские игрушки, скелет человека, чучело, макет солнечной системы, школьные пособия, физические и химические опыты, авиамодель истребителя, полоса препятствий.

– информационные – это целенаправленно отобранная информация о моделируемой сущности, которая отражает ее свойства, наиболее существенные для исследователя. В информационных моделях реальный объект или процесс заменяется его формальным описанием. Такая процедура называется формализацией. Например, информационной моделью движения поездов является расписание их движения, а материальной – макет железной дороги с движущимися паровозиками.

По уровню формализации различают:

– хорошо формализованные модели. Их можно решить средствами, принятыми в данной предметной области, не используя субъективные мнения экспертов;

– плохо формализованные модели. Их нельзя решить без привлечения эксперта в данной предметной области.

Типы информационных моделей

Абстрактные (мысленные) – при построении модели используются понятия, не существующие в реальной жизни. Примеры: модель идеального газа. Она представляет каждую молекулу как материальную точку, т. е. объект, который имеет массу, но не имеет размеров. В модели движения планет вокруг солнца каждая планета тоже представляется как материальная точка.

Вербальные – мысленные модели, выраженные в разговорной форме с помощью естественных языков. Пример: инструкция пилоту самолета – это вербальная неформализованная модель, так как она пишется на естественном языке.

Знаковые (формализованные) – выражены специальными символами, применяемыми в изучаемой предметной области. Например, компьютерная модель реализована средствами программной среды, математическая – формулами, которые описывают изучаемую сущность. Знаковая формализованная модель музыкального произведения – запись с помощью нот и т. д. В знаковых информационных моделях выделяют класс образно-знаковых моделей. Например, к таким моделям относятся:

– Геометрические – рисунок, пиктограмма, чертеж, карта, план, объемное изображение;

– Структурные – таблица, граф, схема, диаграмма;

– Алгоритмические – нумерованный список действий, пошаговое перечисление, блок-схема.

По способу организации данных информационные модели делятся на: 

– реляционные (табличные): перечень объектов и их свойств оформляется в виде связанных между собою таблиц. Каждая строка таблицы содержит информацию об одном экземпляре (сущности) предметной области, каждый столбец – значения одной и той же характеристики (атрибута) для разных сущностей. Пример: расписание движения поездов – это табличная информационная модель реального перемещения поездов по железной дороге;

– иерархические: объекты распределены по уровням. Каждый элемент высокого уровня состоит из элементов нижнего уровня, а элемент нижнего уровня может входить в состав только одного элемента более высокого уровня. Такие модели представляются ориентированным графом («деревом»), у которого начальная вершина не подчинена никакой другой, а все остальные подчинены только одной, но могут иметь в своем подчинении сколько угодно объектов нижнего уровня. Если из каждого узла выходит только два потомка, то такая структура называется бинарным деревом. Примеры: файловая структура в компьютере (система каталогов), система доменных имен в Интернете, структура почтовых адресов, классификации животных, растений. В иерархической модели две любые вершины могут быть соединены только одним путем. Пример: относительный путь к файлу имеет только один вариант.

– Сетевые: между объектами моделируемой системы существуют множественные связи. Такие модели представляются графом, в котором имеются связи между вершинами, позволяющие создать разные пути перехода между ними. Примеры: модель функционирования Интернет, где каждый сервер может связаться с любым другим сервером через цепочку промежуточных узлов, и эти цепочки могут быть разными; модель взаимодействия пациентов и врачей в больнице, где каждого больного обследует несколько врачей и в то же время каждый врач следит за здоровьем нескольких больных; модель взаимодействия студентов и преподавателей в процессе обучения.

2. Основные этапы моделирования.

Моделирование является одним из ключевых видов деятельности человека. Моделирование всегда в той или иной форме предшествует любому делу. Прежде чем браться за какую-либо работу, нужно четко представить себе отправной и конечный пункты деятельности, а также примерные ее этапы. Тоже можно сказать и о моделировании. Отправной пункт моделирования – прототип. Им может быть существующий или проектируемый объект либо процесс. Конечный этап моделирования – принятие решения. Во многих житейских ситуациях приходится принимать то или иное решение. В моделировании это означает, что мы либо создаем новый объект, модель которого мы исследовали, либо улучшаем существующий, либо получаем о нем дополнительную информацию.

Рассмотрим основные этапы моделирования (рис. 1) подробнее.