Хотя и без решения системы часть решений уже можно определить

    

                       

Рассмотрим частный случай уравнения (2) при m =1.

,при m ≥1.

Т.к. K чётное число, тогда K =8, 24, 48, 80, 120, 168, 224, 288, 360 ….

Получится возрастающий ряд K.

Этому ряду K соответствует ряд разностей:

У - Х =2, 4, 6, 8, 10, 12 …. при положительных значениях радикала и

У - Х =-4, -6, -8, -10, -12 …. при отрицательных значениях радикала.

 

Рассмотрим четыре примера, взяв соответственно:

1) У - Х =2         K =8

2) У - Х =4         K =24

3) У - Х =6         K =48

4) У - Х =8         K =80

1) У = Х +2, подставим в уравнение (1) при K =8

Х₁ =1      Х₂ =2     Х₃ =-2

У₁ =3      У₂ =4     У₃ =0

K =8       K =8      K =8

2) У = Х +4

Х =1

У =5

K =24

3) У = Х +6

Х =1

У =7

K =48

4) У = Х +8

Х₁ =1      Х₂ =4     Х₃ =-4

У₁ =9      У₂ =12   У₃ =4

K =80               K =80              K =80

Вариант II.

                                    (3)

     

 

Подставляем в (3), получаем

, m ≥1.

При m =1 K примет значения –7, 1, 17, 41, 73, 113 ….;

Как и в предыдущем варианте получится возрастающий ряд K, и ему соответствует ряд разностей:

У - Х =-1, 1, 3, 5, 7, 9….; У - Х =-3, -5, -7, -9….

Вариант III.

 

После подстановки ₁, ₂, окончательно получим

, m ≥1.

При m =1 K примет значения –4, 8, 28, 56 ….

Этому ряду K соответствует ряд разностей:

У - Х =0, 2, 4, 6….; У - Х =-4, -6, -8, -10….

Вариант IV.

 

, m ≥1.

При m =1 K примет значения 3, 15, 35, 63, 99 ….

Этому ряду K соответствует ряд разностей:

У - Х =1, 3, 5, 7, 9 ….; У - Х =-3, -5, -7, -9, -11….

 

Уравнения У²=Х³-Х, У²=Х³-Х+1, У²=Х³+аХ+В и прочие уравнения эллиптических кривых познавательного интереса для данного алгоритма не представляют.

Повторяясь, скажу, важно лишь количество неизвестных. Поэтому распишу лишь первое из них.

- IУ - чётное число, Х - нечётное число;

- II У - чётное число, Х - чётное число,всегда У > Х, и как следствие ₁> ₂.

Вариант I.

Т.к.

                    

Тогда

 

После подстановки

Вариант II.

Сразу пишу ответ

И после всех преобразований и подстановок

Работа при исследовании уравнений данным алгоритмом достаточно монотонная.

 

Исследование уравнения проведено, кстати, не до конца.

Не рассмотрена ситуация У < Х.
            Иррациональные корни уравнения

                             .

Известно, что данное уравнение имеет иррациональные корни. Но для решения, предположим, что уравнение увидели впервые. И тогда начало решения будет традиционным для данного алгоритма.

Рассмотрим 2 варианта:

- I Х - чётное число, У - нечётное число;

- II Х - нечётное число, У - чётное число.

Всегда Х > У

Вариант I.

Функциональное уравнение общего вида будет:

, где  ,     (1)

Преобразования изображу подробно

                                             (2)

В уравнении (1) ,

Тогда ,

Значения  и  подставим в формулу (2)

Исходное уравнение

 

запишем в виде 

Тогда

До конца не преобразуя, оставляю решение в виде системы

 

 

(3)

         

 

Вариант II.

, где  ,     (4)

Преобразования без комментариев.

                                               (5)

В уравнении (4)

Тогда ,

Значения  и  подставим в формулу (5)

И сразу пишу систему решений

                  

(6)

 

Итого: иррациональными решениями уравнения

являются две системы уравнений (3)  и (6).

Отрицательные значения радикалов не рассматриваю.