Поиск Пифагоровых троек

                   (1)

Пусть Х – нечётное число, У – чётное число, Z – нечётное число

и Х > У > Z.

,

уравнение   представлено в виде , и далее оно расписано в виде произведения                         (2)

Можно составить три системы уравнений:

а)

   

б)

  

в)

       

И по порядку начинаем рассматривать все три варианта.

Заранее составим заготовку для их решения.

 

 

   

Откуда следует

   

                                                                        (3)    

   

 

а)

     

Произведя подстановку соотношений (3) и с учётом уравнений (2) получим систему из трёх уравнений с тремя же неизвестными.

     

 

   

После соответствующих преобразований будет

                                                                

Перед радикалом убран знак «минус» ибо комплексные решения не интересуют.

;

Простой перебор значений m даёт следующие результаты:

- при     m =2        , тогда        

- при     m =7      , тогда      

б) Система (б)  после сокращений примет вид

   

 

После подстановок (3) и с учётом уравнения (2) получим систему уравнений:

     

                                                      

   

откуда

При m≥ 1, Z =1, 3, 5, 7, 9, 11…. т.е. все нечётные числа, хотя единицу надо убрать, ибо она не удовлетворяет условию системы (4).

Из (Х-У)(Х+У)=Z² получаем, систему уравнений

                                                                             (4)

                          

Решая данную систему, получаем ряд значений Пифагоровых троек.

                  

 

Х	5	13	25	41	61	85	113	145	181	221	265	313	365	421
У	4	12	24	40	60	84	112	144	180	220	264	312	364	420
Z	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29

 

В этой таблице, когда Z является простым числом, дальнейшие расчёты Пифагоровых троек отсутствуют.

Когда Z является составным числом, возможен дальнейший расчёт.

Возьмём Z =15        Z² =225

225=1х 225; 3х75; 5х45; 9х25

Будем рассматривать систему (4), подставляя подчёркнутые произведения.

  Х =39, У =36, Z =15, после сокращения на три         

Х =13, У =12, Z =5

  Х =25, У =20, Z =15, после сокращения на пять       

Х =5,   У =4, Z =3

Х =17, У =8, Z =15, несколько неожиданный  

результат, ибо рассматривается по условию У > Z.  

 

Возьмём Z= 27 Z²= 729

729=1х729; 3х243; 9х81

Расчёт показывает

Х =123, У =120, Z =27, после сокращения на три Х =41, У =40, Z =9;

Х =45, У =36, Z =27, после сокращения на девять     Х =5, У =4, Z =3.

Возьмём Z =35        Z² =1225

1225 = 1х1225; 5х245; 7х175; 25х49.

Х =   125 (25), 91 (13), 37

У =   120 (24), 84 (12), 12

Z =   35 (7), 35 (5), 35

И последний раз в качестве примера

Возьмём Z= 39 Z²= 1521

1521=1х1521; 3х507; 9х169; 13х117.

Х =   255 (85), 89, 65

У =   252 (84), 80, 52

Z =   39 (13), 39, 39

К сожалению системы пока не вижу.

в) После преобразований получается:

  

 

   

И формула для Z.

                  

Рассмотрим следующий вариант.

От вышеуказанного он отличается следующим условием: У < Z,

а следовательно и  ^< .

Получается девять систем уравнений.

г)

 

д)

 

е)

 

ж)

       

з)

     

и)

   

к)

   

л)

      

м)

     

 

И после подстановки в эти девять систем значений

из соотношений (3), получается также девять систем значений Х, У, Z.

 

г)

     

 

   

д)

     

 

   

е)

      

 

   

ж)

 

 

   

з)

 

 

   

и)

 

   

 

к)

 

   

л)

 

   

м)

  

 

   

И далее, - все девять систем надо решить.

г)  

- нет решения в целых числах при любых m.

д)                                                      

е) , при m =2, У =8;

Решим уравнение (X-Z)(X+Z)=64 перебором произведений

64=1х64; 2х32; 4х16.

Из соотношения 2х32, получаем

 

      

             

 

т.е.   

      

 

   

Система

      

 

 

Даёт значения

        

 

   

ж) - нет корней в целых числах.

з) , при m =2, У =12 и т.д.

Разберём до конца У =12и соответственно У² =144.

Число 144 даёт следующие интересующие нас произведения

144= 2х72; 4х36; 6х24; 8х18.

Из формулы (Х-Z)(X+Z)=У² получим следующие значения Х, У, Z.

 

Х 37	20 (5)	15 (5)	13
У 12	12 (3)	12 (4)	12
Z 35	16 (4)	9 (3)	5

и) - нет корней в целых числах.

к) - нет корней в целых числах.

л) - нет корней в целых числах.

м) - нет корней в целых числах.

 

Рассмотрим следующий вариант:

- пусть все три числа чётные и Х>У>Z, как и  ^{>  >} .

Заранее знаю, что после сокращения всех членов на 2² уравнение перейдёт в область всех натуральных чисел.

 

Из последнего уравнения составим три системы уравнений, после соответствующих преобразований, используя соотношения

           

 

   

   

 

   

н)

     

 

   

п)

 

 

   

р)

 

   

Рассмотрим все три полученные системы уравнений (н), (п), (р).

н)  и преобразуя – Z =2 m, получились все чётные числа при m ≥1.

В таблице приведены значения троек для m ≤10, при условии Х-У=2.

Х	5	10	26	37	50	65	82	101
У	3	8	24	35	48	63	80	99
Z	4	6	10	12	14	16	18	20

п)  - то же выражение, что и в (н).

р)  

 

После упрощения.

 

При m= 2, 3 значения троек будут

 

Х 13	34 (17)
У 5	16 (8)
Z 12	30 (15)

  

При рассмотрении вопроса о Пифагоровых тройках не было целью составление таблиц этих троек. Ибо целью этой статьи является показ возможностей алгоритма решения Диофантовых уравнений.

 

Решение уравнения Каталана.

                            

Уравнение данного вида получается при попытке решения гипотезы Биля. Поэтому решение данного уравнения является как бы леммой гипотезы Биля. Ответ будет дан лишь в качественной оценке. Количественный анализ принципиально не труден, но нуден.

Рассмотрим 2 варианта:

- I А - чётное число, В - нечётное число;

- II А - нечётное число, В - чётное число.

 

Каждый из вариантов распадается опять же на два случая:

А > В, Х < У;

А < В, Х > У.