Свертка обобщенных функций

 

Пусть f(t) и g(t) - интегрируемые на любом конечном интервале функции. Свертка функций f(t) и g(t) определяется соотношением

если только интеграл существует и интегрируем по любому конечному интервалу переменной х. Равенство двух интегралов легко проверить, сделав замену z = x-t.

Если f(t), g(t) – регулярные обобщенные функции и j(х) Î K, то можно записать

Произведение f(t) g(u) можно рассматривать как прямое произведение f(t) х g(u), так что

Это соотношение определяет свертку обощенных функций f(t), g(t) Î K', включая и сингулярные обобщенные функции.

Свертка обобщенных функций обладает следующими свойствами:

 

1)

2)

3)

4) если  то

 (3)

 

Приведем доказательство последнего соотношения. Действительно, для j(х) Î K

 

или

что и доказывает соотношение (3).

Примеры:

1.

2.

Преобразование Фурье обобщенных функций

 

Пусть основное пространство K состоит из бесконечно дифференцируемых комплексно-значных функций j(t) действительного переменного t, равных нулю вне некоторого конечного интервала. Преобразование Фурье функции j(t) определяется соотношением

 

 

Если рассматривать s как комплексную переменную s = u + iv, то

 

 

и y(t) – бесконечно дифференцируемая функция (аналитическая) во всей комплексной плоскости. Интегрируя по частям, получаем

 

В общем случае можно записать

 

Далее, если  - дифференциальный полином с постоянныим коэффициентами  то

 

Определение. Преобразование Фурье обобщенной функции f(t) называется обобщенная функция F[f(t)] = F(s), определяемая соотношением

(F[f(t)], F[j(t)]) = 2p(f(t), j(t)),

которое для регулярных функций называется равенством Парсеваля.

Свойства преобразования Фурье

 

1)

2)

3) F^-1[F[f(t)]] = f(t), где F^-1 – оператор, обратный F, удовлетворяющий соотношению

4) F[F[f(t)]] = 2pf(-t);

5)

 

Приведем преобразование Фурье от некоторых обобщенных функций.

 

F[1(t)] = 2pd(u),

F[d(t-a)] = e^-iua,