Рассмотрим линейное неоднородное уравнение

 

 (7)

 

Задачей Коши для этого уравнения называется задача, заключающаяся в определении функции  удовлетворяющей этому уравнению и начальным условиям в точке t = t_o:

y_o = y(t_o), y'_o = y'(t_o),..., y_o^(n-1) = y^(n-1)(t_o).

 

Задача Коши имеет единственное решение. Найдем решение, удовлетворяющее уравнению (7), а также начальным условиям.

 

 (8)

t®+0

 

Запишем уравнение (8) в обобщенных функциях, продолжив функцию f(t) и искомое решение нулевым значением для t<0. Введем функции

 

 

и соответствующие обобщенные функции. Начальные условия в этом случае являются скачками функции y(t) и ее производных до n-1-го порядка включительно в точке t = 0. Действительно, рассмотрим вначале случай, когда у функции y(t) только скачок y_o, тогда

 

где y'(t) – производная в обычном смысле.

Если у функции еще и скачок производной равный y'_o, то

 

 

Производную порядка p (p £ n-1) обобщенной функции  можно записать в виде

 

 

Введем обозначение

 

 

Где

 

 

Таким образом, дифференциальное уравнение (7) переходит в уравнение

 

 (9)

Преимущество этого уравнения состоит в том, что оно содержит начальные условия Коши и в формулировке задачи участвуют обобщенные функции.

Уравнение в свертках, соответствующее уравнению (9), имеет вид

 

 

Если e(t) – его фундаментальное решение, то с учетом последней формулы можно записать

 

 (10)

С помощью вариации постоянных можно записать фундаментальное решение в виде

e(t) = q(t) y_n(t),

где y_n(t) - решение однородного уравнения

 

 

с начальными условиями

 

 

Тогда решение уравнения (10) принимает вид

 

Таким образом, решение уравнения (7) с начальным условием (8) принимает вид

 

 

где предполагается, что f(t) – локально интегрируемая функция.

Пример. Рассмотрим уравнение

y''(t) = 0, t ³ 0

с начальными условиями

lim y(t) = y_o, lim y'(t) = y'_o

 

t®+0 t®+0

 

В этом уравнении а₁ = а₂ = 0 и b₁ = y_o, b₂ = y'_o, а функция y₂(t) = t является решением однородного уравнения, удовлетворяющая условиям

 

y₂(0) = 0, y'(0) = 1.

 

Поэтому

 

y(t) = y_o + y'_o t, t ³ 0.

 

Можно также написать